【題目】如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,以邊AB為直徑的⊙O經(jīng)過點(diǎn)C,E是⊙O上的一點(diǎn),且∠BEC=45°.
(1)試判斷CD與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(2)若BE=8cm,sin∠BCE= ,求⊙O的半徑.
【答案】(1)相切,詳見解析;(2)⊙O的半徑為5 cm.
【解析】
(1)連接OC,根據(jù)圓周角定理得到∠BOC=2∠BEC=90°,再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD,則∠OCD=∠BOC=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到CD與⊙O相切;
(2)連接AE,根據(jù)圓周角定理及其推論得∠AEB=90°,∠EAB=∠BCE,而sin∠BCE=,則sin∠EAB=,根據(jù)三角函數(shù)的定義易求出AB,即可得到圓的半徑.
解:(1)相切.理由如下:
連接OC,如圖,
∵∠BEC=45°,
∴∠BOC=90°,
又∵四邊形ABCD是平行四邊形,
∴AB∥CD.
∴∠OCD=∠BOC=90°,
∴OC⊥CD.
∴CD為⊙O的切線;
(2)連接AE,如圖,
∵AB為⊙O的直徑,
∴∠AEB=90°,
∵∠EAB=∠BCE,sin∠BCE=,
∴sin∠EAB=,
∴=,
∵BE=8,
∴AB=10,
∴AO=AB=5,
∴⊙O的半徑為5 cm.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)如下表:
(1)將下表補(bǔ)充完整,并在直角坐標(biāo)系中,畫出△A′B′C′;
(x,y) | (2x,2y) |
A(2,1) | A′(4,2) |
B(4,3) | B′( ) |
C(5,1) | C′( ) |
(2)觀察兩個(gè)三角形,可知△ABC∽△A′B′C′兩個(gè)三角形的是以原點(diǎn)為位似中心的位似三角形,△ABC與△A′B′C′的位似比為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸為直線x=﹣1,與x軸的一個(gè)交點(diǎn)A在點(diǎn)(﹣3,0)和(﹣2,0)之間,其部分圖象如圖,則下列結(jié)論:①4ac﹣b2<0;②2a﹣b=0;③a+b+c<0;④點(diǎn)M(x1,y1)、N(x2,y2)在拋物線上,若x1<x2,則y1≤y2,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( )
A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小東設(shè)計(jì)的“作△ABC中BC邊上的高線”的尺規(guī)作圖過程.
已知:△ABC.
求作:△ABC中BC邊上的高線AD.
作法:如圖,
①以點(diǎn)B為圓心,BA的長為半徑作弧,以點(diǎn)C為圓心,CA的長為半徑作弧,兩弧在BC下方交于點(diǎn)E;
②連接AE交BC于點(diǎn)D.
所以線段AD是△ABC中BC邊上的高線.
根據(jù)小東設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形;(保留作圖痕跡)
(2)完成下面的證明.
證明:∵ =BA, =CA,
∴點(diǎn)B,C分別在線段AE的垂直平分線上( )(填推理的依據(jù)).
∴BC垂直平分線段AE.
∴線段AD是△ABC中BC邊上的高線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AC的垂直平分線分別與AC、BC及AB的延長線相交于點(diǎn)D,E,F(xiàn),且BF=BC,⊙O是△BEF的外接圓,∠EBF的平分線交EF于點(diǎn)G,交⊙O于點(diǎn)H,連接BD、FH.
(1)求證:△HGF∽△HFB;
(2)求證:BD=EF;
(3)連接HE,若AB=2,求△HEF的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D,DE交AC于點(diǎn)E,且∠A=∠ADE.
(1)求證:DE是⊙O的切線;
(2)若AD=16,DE=10,求BC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校計(jì)劃組織師生共310人參加一次野外研學(xué)活動(dòng),如果租用6輛大客車和5輛小客車恰好全部坐滿.已知每輛大客車的乘客座位數(shù)比小客車多15個(gè).
(1)求每輛大客車和每輛小客車的乘客座位數(shù);
(2)由于最后參加活動(dòng)的人數(shù)增加了20人,學(xué)校決定調(diào)整租車方案,在保持租用車輛總數(shù)不變的情況下,為將所有參加活動(dòng)的師生裝載完成,求租用小客車數(shù)量的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB的垂直平分線分別交AB,BC于點(diǎn)D,E,∠B=30°,∠BAC=80°,且BC+AC=12cm,①求∠CAE的度數(shù);②求△AEC的周長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2017浙江省溫州市)如圖,矩形OABC的邊OA,OC分別在x軸、y軸上,點(diǎn)B在第一象限,點(diǎn)D在邊BC上,且∠AOD=30°,四邊形OA′B′D與四邊形OABD關(guān)于直線OD對稱(點(diǎn)A′和A,B′和B分別對應(yīng)).若AB=1,反比例函數(shù)(k≠0)的圖象恰好經(jīng)過點(diǎn)A′,B,則k的值為______.
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