Question

【題目】若一個(gè)函數(shù)的解析式等于另兩個(gè)函數(shù)解析式的和，則這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為另兩個(gè)函數(shù)的“生成函數(shù)”。現(xiàn)有關(guān)于x的兩個(gè)二次函數(shù)y1、y2，且y1＝a(x－m)2＋4(m>0)，y1、y2的“生成函數(shù)”為：y＝x2＋4x＋14；當(dāng)x＝m時(shí)，y2＝15；二次函數(shù)y2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，k)。

(1)求m的值；

(2)求二次函數(shù)y1、y2的解析式。

Answer 1

【答案】(1)m=1;(2) y1＝4x2－8x＋8，y2＝－3x2＋12x＋6.

【解析】

(1)根據(jù)已知新定義和當(dāng)x＝ m時(shí),y2＝ 15得出15＝ m2－ a(m－ m)2＋4m ＋ 10,求出即可;

(2)把m的值代入函數(shù)y2，根據(jù)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求出a,再把a的值代入求出即可.

解：(1)由“生成函數(shù)”的概念，可知y＝y1＋y2.

∵y1＝a(x－m)2＋4，y＝x2＋4x＋14，

∴y2＝y－y1＝x2＋4x＋14－a(x－m)2－4.

∵當(dāng)x＝m時(shí)，y2＝15，∴15＝m2＋4m＋10，得m1＝－5，m2＝1

又∵m>0，

∴m＝1.

(2)由m＝1得，y2＝x2＋4x＋14－a(x－1)2－4

＝(1－a)x2＋(4＋2a)x＋10－a.

∵二次函數(shù)y2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，k)，

∴對(duì)稱(chēng)軸x＝－＝2，解得a＝4.

∴y1＝4(x－1)2＋4＝4x2－8x＋8，

∴y2＝(1－4)x2＋(4＋2×4)x＋10－4＝－3x2＋12x＋6.