【題目】如圖,A、B兩點的坐標分別為(0,6),(0,3),點P為x軸正半軸上一動點,過點A作AP的垂線,過點B作BP的垂線,兩垂線交于點Q,連接PQ,M為線段PQ的中點.
(1)求證:A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上;
(2)當⊙M與x軸相切時,求點Q的坐標;
(3)當點P從點(2,0)運動到點(3,0)時,請直接寫出線段QM掃過圖形的面積.
【答案】(1)見解析;(2) Q的坐標為(3,9);(3).
【解析】(1)解:連接AM、BM,
∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜邊PQ的中點
∴AM=BM=PM=QM= PQ,
∴A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上。
(2)解:作MG⊥y軸于G,MC⊥x軸于C,
∵AM=BM
∴G是AB的中點,由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5
∴在點P運動的過程中,點M到x軸的距離始終為4.5
則點Q到x軸的距離始終為9,即點Q的縱坐標始終為9,
當⊙M與x軸相切時則PQ⊥x軸,作QH⊥y軸于H,
HB=9-3=6,設(shè)OP=HQ=x
由△BOP∽△QHB,得x2=3×6=8,x=3
∴點Q的坐標為(3 ,9)
(3)解:由相似可得:當點P在P1(2,0)時,Q1(4,9)則M1(3,4.5)
當點P在P2(3,0)時,Q2(6,9),則M2(4.5,4.5)
∴M1M2= -3= , Q1Q2=6-4=2
線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1
其面積為:×(+2)×4.5=.
【解析】
根據(jù)已知可得出三角形APQ和三角形BPQ都是直角三角形,再根據(jù)這個條件結(jié)合題意直接解答此題.
(1)解:連接AM、BM,
∵AQ⊥AP,BQ⊥BP∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜邊PQ的中點
∴AM=BM=PM=QM= PQ,
∴A、B、P、Q四點在以M為圓心的同一個圓上。
(2)解:作MG⊥y軸于G,MC⊥x軸于C,
∵AM=BM
∴G是AB的中點,由A(0,6),B(0,3)可得MC=OG=4.5
∴在點P運動的過程中,點M到x軸的距離始終為4.5
則點Q到x軸的距離始終為9,即點Q的縱坐標始終為9,
當⊙M與x軸相切時則PQ⊥x軸,作QH⊥y軸于H,
HB=9-3=6,設(shè)OP=HQ=x
由△BOP∽△QHB,得x2=3×6=8,x=3
∴點Q的坐標為(3 ,9)
(3)解:由相似可得:當點P在P1(2,0)時,Q1(4,9)則M1(3,4.5)
當點P在P2(3,0)時,Q2(6,9),則M2(4.5,4.5)
∴M1M2= -3= , Q1Q2=6-4=2
線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1
其面積為:×( +2)×4.5=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知A是雙曲線y=在第一象限上的一動點,連接AO并延長交另一分支于點B,以AB為邊作等邊三角形ABC,點C在第四象限,已知點C的位置始終在一函數(shù)圖象上運動,則這個函數(shù)解析式為( )
A. y=﹣ B. y=﹣(x>0) C. y=﹣6x(x>0) D. y=6x(x>0)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,A、B、C是直線l上的三個點,∠DAB=∠DBE=∠ECB=a,且BD=BE.
(1)求證:AC=AD+CE;
(2)若a=120°,點F在直線l的上方,△BEF為等邊三角形,補全圖形,請判斷△ACF的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】函數(shù)y=x2+bx+c的圖像與x 軸交于A、B兩點,與y軸交于點C,OB=OC.點D在函數(shù)圖像上,CD//x軸,且CD=2,直線l 是拋物線的對稱軸,E是拋物線的頂點.
(1)求b、c 的值;
(2)如圖①,連接BE,線段OC 上的點F 關(guān)于直線l 的對稱點F′ 恰好在線段BE上,求點F的坐標;
(3)如圖②,動點P在線段OB上,過點P 作x 軸的垂線分別與BC交于點M,與拋物線交于點N.試問:拋物線上是否存在點Q,使得△PQN與△APM的面積相等,且線段NQ的長度最小?如果存在,求出點Q的坐標;如果不存在,說明理由.
圖 ① 圖②
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】閱讀理解:
關(guān)于x的方程:x+=c+的解為x1=c,x2=;x﹣=c﹣(可變形為x+=c+)的解為x1=c,x2=;x+=c+的解為x1=c,x2= Zx+=c+的解為x1=c,x2=Z.
(1)歸納結(jié)論:根據(jù)上述方程與解的特征,得到關(guān)于x的方程x+=c+(m≠0)的解為 .
(2)應(yīng)用結(jié)論:解關(guān)于y的方程y﹣a=﹣
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于的方程.
若是方程的一個根,求的值和方程的另一根;
當為何實數(shù)時,方程有實數(shù)根;
若,是方程的兩個根,且,試求實數(shù)的值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某班級同學從學校出發(fā)去太陽島研學旅行,一部分乘坐大客車先出發(fā),余下的同學20min后乘坐小轎車沿同一路線出行,大客車中途停車等候5min,小轎車趕上來之后,大客車以出發(fā)時速度的繼續(xù)行駛,小轎車保持原速度不變.小轎車司機因路線不熟錯過了景點入口,在駛過景點入口6 km時,原路提速返回,恰好與大客車同時到達景點入口.兩車距學校的路程S(單位:km)和行駛時間t(單位:min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.
請結(jié)合圖象解決下面問題:
(1)學校到景點的路程為________km,________;
(2)在小轎車司機駛過景點入口時,大客車離景點入口還有多遠?
(3)小轎車司機到達景點入口時發(fā)現(xiàn)本路段限速80 km/h,請你幫助小轎車司機計算折返時是否超速?
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】若一個函數(shù)的解析式等于另兩個函數(shù)解析式的和,則這個函數(shù)稱為另兩個函數(shù)的“生成函數(shù)”,F(xiàn)有關(guān)于x的兩個二次函數(shù)y1、y2,且y1=a(x-m)2+4(m>0),y1、y2的“生成函數(shù)”為:y=x2+4x+14;當x=m時,y2=15;二次函數(shù)y2的圖象的頂點坐標為(2,k)。
(1)求m的值;
(2)求二次函數(shù)y1、y2的解析式。
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