【題目】已知:在正方形ABCD中,AB=3,E是邊BC上一個動點(點E不與點B,點C重合),連接AE,點H是BC延長線上一點.過點B作BF⊥AE,交AE于點G,交DC于點F.
(1)求證:AE=BF;
(2)過點E作EM⊥AE,交∠DCH的平分線于點M,連接FM,判斷四邊形BFME的形狀,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,∠EMC的正弦值為,求四邊形AGFD的面積.
【答案】(1)見解析;(2)四邊形BFME是平行四邊形,見解析;(3)S四邊形ADFG=.
【解析】
(1)結合正方形的性質證△ABE≌△BCF即可;
(2)要證四邊形BFME是平行四邊形,由(1)知△ABE≌△BCF(ASA)且AE=BF,若能證AE=EM,則BF=EM,只需再證BF∥EM即可,因此為證AE=EM,可構造以AE為邊的三角形使其與△ECM全等,可在AB上截取BN=BE,構造三角形AEN,進行證明即可;
(3)如圖2,連接BD,過點F作FN⊥BD于點N,由正方形、平行線及角平分線的性質可知∠EMC=∠DBF,所以sin∠EMC=sin∠DBF==,設NF=a,BF=10a,由正方形的性質,可知BD,ND長,BN=BD-ND,在直角三角形BNF中BF2﹣NF2=BN2,據(jù)此求出a的值,即知NF,BF長,同樣,DF,FC,BE,EC的長也能求出,再由△BGE∽△BCF求出 BG,GE長,此時,可求出四邊形ADEC,ECFG的面積,作差即得四邊形AGFD的面積.
解:證明:(1)∵在正方形ABCD中,
∴∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,
∵∠BAE+∠ABF=90°,∠CBF+∠ABF=90°,
∴∠BAE=∠CBF,且∠ABE=∠BCF=90°,AB=BC,
∴△ABE≌△BCF(ASA)
∴AE=BF,
(2)四邊形BFME是平行四邊形
理由如下:如圖1:在AB上截取BN=BE,
∵△ABE≌△BCF
∴∠BAE=∠FBC
∵AB=BC,BN=BE,
∴AN=EC,∠BNE=45°
∴∠ANE=135°
∵CM平分∠DCH
∴∠DCM=∠MCH=45°
∴∠ECM=135°=∠ANE
∵AE⊥EM
∴∠AEB+∠MEC=90°,∠AEB+∠BAE=90°
∴∠BAE=∠MEC,且AN=EC,∠ANE=∠DCM
∴△ANE≌△ECM(SAS)
∴AE=EM,∠BAE=∠MEC
∴∠BAE=∠FBC=∠MEC
∴BF∥EM,且BF=AE=EM
∴四邊形BFME是平行四邊形
(3)如圖2,連接BD,過點F作FN⊥BD于點N,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=BC=CD=3,∠DBC=∠BDC=45°,
∴BD=3,∠DBF+∠FBC=45°
∵∠MCH=∠MEC+∠EMC=45°,∠FBC=∠MEC
∴∠EMC=∠DBF
∴sin∠EMC=sin∠DBF==
∴設NF=a,BF=10a,
∵∠BDC=45°,FN⊥BD
∴DN=NF=a,DF=NF=2a
∴BN=3﹣a
∵BF2﹣NF2=BN2,
∴98a2=(3﹣a)2,
∴a=
∴DF=2×=
∴FC=
∵△ABE≌△BCF
∴BE=CF=,
∴EC=,BF==
∵∠FBC=∠FBC,∠BGE=∠BCF
∴△BGE∽△BCF
∴
∴
∴BG=,GE=
∴S四邊形ADFG=S四邊形ADEC﹣S四邊形ECFG,
∴S四邊形ADFG=
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,平行四邊形AOBC中,對角線交于點E,雙曲線y=(k>0)經(jīng)過A、E兩點,若平行四邊形AOBC的面積為24,則k的值是( 。
A. 8B. 7.5C. 6D. 9
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【題目】如圖,在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中,點、、、均在格點上.I. 的長等于______________;Ⅱ.點在射線上,點在射線上,當的周長最小時,請在如圖所示的網(wǎng)格中,用無刻度的直尺,畫出,并簡要說明點,的位置是如何找到的(不要求證明)____________ .
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【題目】某校為了解七年級學生的體重情況,隨機抽取了七年級m名學生進行調查,將抽取學生的體重情況繪制如下不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖.
組別 | 體重(千克) | 人數(shù) |
A | 37.5≤x<42.5 | 10 |
B | 42.5≤x<47.5 | n |
C | 47.5≤x<52.5 | 40 |
D | 52.5≤x<57.5 | 20 |
E | 57.5≤x<62.5 | 10 |
請根據(jù)圖表信息回答下列問題:
(1)填空:①m=_____,②n=_____,③在扇形統(tǒng)計圖中,C組所在扇形的圓心角的度數(shù)等于_______度;
(2)若把每組中各個體重值用這組數(shù)據(jù)的中間值代替(例如:A組數(shù)據(jù)中間值為40千克),則被調查學生的平均體重是多少千克?
(3)如果該校七年級有1000名學生,請估算七年級體重低于47.5千克的學生大約有多少人?
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【題目】二次函數(shù)y=x2+bx﹣t的對稱軸為x=2.若關于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0在﹣1<x<3的范圍內有實數(shù)解,則t的取值范圍是( 。
A. ﹣4≤t<5B. ﹣4≤t<﹣3C. t≥﹣4D. ﹣3<t<5
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,點D是BC邊上一點,且AD=BD,⊙O是△ACD的外接圓
(1)求證:直線AB是⊙O的切線;
(2)若AB=10,BC=16,求⊙O的半徑.
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【題目】拋物線與軸交于點,,與軸交于點,頂點為,直線與軸交于點.
(Ⅰ)求頂點的坐標;
(Ⅱ)如圖,設點為線段上一動點(點不與點、重合),過點作軸的垂線與拋物線交于點.求的面積最大值;
(Ⅲ)點在線段上,當時,求點的坐標(直接寫出結果,不必寫解答過程).
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