【題目】如圖1,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,若tanABC=3,一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為-8、2

(1) 求二次函數(shù)的解析式

(2) 直線l繞點(diǎn)A以AB為起始位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AC位置停止,l與線段BC交于點(diǎn)D,P是AD的中點(diǎn)

求點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路程

如圖2,過(guò)點(diǎn)D作DE垂直x軸于點(diǎn)E,作DFAC所在直線于點(diǎn)F,連結(jié)PE、PF,在l運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,EPF的大小是否改變?請(qǐng)說(shuō)明理由

(3) 在(2)的條件下,連結(jié)EF,求PEF周長(zhǎng)的最小值

【答案】(1)y=x2+x-6;(2);②∠EPF的大小不會(huì)改變;(3)

【解析】

試題分析:(1)利用tanABC=3,得出C但坐標(biāo),再利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式;

(2)當(dāng)l在AB位置時(shí),P即為AB的中點(diǎn)H,當(dāng)l運(yùn)動(dòng)到AC位置時(shí),P即為AC中點(diǎn)K,則P的運(yùn)動(dòng)路程為ABC的中位線HK,再利用勾股定理得出答案;

首先利用等腰三角形的性質(zhì)得出PAE=PEA=EPD,同理可得:PAF=PFA=DPF,進(jìn)而求出EPF=EPD+FPD=2(PAE+PAF),即可得出答案;

(3)首先得出CPEF=AD+EF,進(jìn)而得出EG=PE,EF=PE=AD,利用CPEF=AD+EF=(1+)AD=AD,得出最小值即可.

試題解析:(1)函數(shù)y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn),且一元二次方程ax2+bx+c=0兩根為:-8,2,

A(-8,0)、B(2,0),即OB=2,

tanABC=3,OC=6,即C(0,-6),

將A(-8,0)、B(2,0)代入y=ax2+bx-6中,得:

,解得:,

二次函數(shù)的解析式為:y=x2+x-6;

(2)如圖1,

當(dāng)l在AB位置時(shí),P即為AB的中點(diǎn)H,

當(dāng)l運(yùn)動(dòng)到AC位置時(shí),P即為AC中點(diǎn)K,

P的運(yùn)動(dòng)路程為ABC的中位線HK,

HK=BC,

在RtBOC中,OB=2,OC=6,

BC=2,HK=,

即P的運(yùn)動(dòng)路程為:

②∠EPF的大小不會(huì)改變,

理由如下:如圖2,

DEAB,

在RtAED中,P為斜邊AD的中點(diǎn),

PE=AD=PA,

∴∠PAE=PEA=EPD,

同理可得:PAF=PFA=DPF,

∴∠EPF=EPD+FPD=2(PAE+PAF),

EPF=2EAF,

∵∠EAF大小不變,

∴∠EPF的大小不會(huì)改變;

(3)設(shè)PEF的周長(zhǎng)為C,則CPEF=PE+PF+EF,

PE=AD,PF=AD,

CPEF=AD+EF,

在等腰三角形PEF中,如圖2,過(guò)點(diǎn)P作PGEF于點(diǎn)G,

∴∠EPG=EPF=BAC,

tanBAC=,

tanEPG=,

EG=PE,EF=PE=AD,

CPEF=AD+EF=(1+)AD=AD,

又當(dāng)ADBC時(shí),AD最小,此時(shí)CPEF最小,

又SABC=30,

BC×AD=30,

AD=3,

CPEF最小值為:AD=

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成績(jī)(分)

30

29

28

26

18

人數(shù)(人)

32

4

2

1

1

A. 該班共有40名學(xué)生

B. 該班學(xué)生這次考試成績(jī)的平均數(shù)為29.4

C. 該班學(xué)生這次考試成績(jī)的眾數(shù)為30

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