【題目】如圖,正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形.
(1)若某函數(shù)是一次函數(shù)y=x+1,求它的圖象的所有伴侶正方形的邊長;
(2)若某函數(shù)是反比例函數(shù),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,點D(2,m)(m<2)在反比例函數(shù)圖象上,求m的值及反比例函數(shù)解析式;
(3)若某函數(shù)是二次函數(shù)y=ax2+c(a≠0),它的圖象的伴侶正方形為ABCD,C、D中的一個點坐標為(3,4).寫出伴侶正方形在拋物線上的另一個頂點坐標,寫出符合題意的其中一條拋物線解析式,并判斷你寫出的拋物線的伴侶正方形的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)?.(本小題只需直接寫出答案)
【答案】(1)正方形邊長為;(2)m=1,y=;(3)D坐標為(﹣1,3);y=x2+ ;所求的任何拋物線的伴侶正方形個數(shù)為偶數(shù).
【解析】
此題較為新穎,特別要注意審題和分析題意,耐心把題讀完,知A、B為坐標軸上兩點,C、D為函數(shù)圖象上的兩點:(1)先正確地畫出圖形,再利用正方形的性質(zhì)確定相關(guān)點的坐標從而計算正方形的邊長,注意思維的嚴密性.
(2)因為ABCD為正方形,所以可作垂線得到等腰直角三角形,利用點D(2,m)的坐標表示出點C的坐標從而求解.
(3)注意思維的嚴密性,拋物線開口既可能向上,也可能向下.當(dāng)拋物線開口向上時,正方形的另一個頂點也是在拋物線上,這個點既可能在點(3,4)的左邊,也可能在點(3,4)的右邊,過點(3,4)向x軸作垂線,利用全等三角形確定線段的長即可確定拋物線上另一個點的坐標;當(dāng)拋物線開口向下時也是一樣地分為兩種情況來討論.
(1)∵正方形ABCD是一次函數(shù)y=x+1圖象的其中一個伴侶正方形.
當(dāng)點A在x軸正半軸、點B在y軸負半軸上時,
∴AO=1,BO=1,
∴正方形ABCD的邊長為
當(dāng)點A在x軸負半軸、點B在y軸正半軸上時,設(shè)正方形ABCD的邊長為a,得3a=
∴a= ,所以正方形邊長為 ;
(2)作DE、CF分別垂直于x、y軸,
知△ADE≌△BAO≌△CBF,此時,m<2,DE=OA=BF=m,OB=CF=AE=2﹣m
∴OF=BF+OB=2
∴C點坐標為(2﹣m,2)
∴2m=2(2﹣m)
解得m=1,
∴反比例函數(shù)的解析式為y= ;
(3)根據(jù)題意畫出圖形,如圖所示:
過C作CF⊥x軸,垂足為F,過D作DE⊥CF,垂足為E,
∴△CED≌△DGB≌△AOB≌△AFC,
∵C(3,4),即CF=4,OF=3,
∴EG=3,DE=4,故DG=DE﹣GE=DE﹣OF=4﹣3=1,則D坐標為(﹣1,3);設(shè)過D與C的拋物線的解析式為:y=ax2+b,
把D和C的坐標代入得: ,
解得 ,
∴滿足題意的拋物線的解析式為y=x2+;
同理可得D的坐標可以為:(7,﹣3);(﹣4,7);(4,1),對應(yīng)的拋物線分別為y=x2+;y=x2+;y=x2+,所求的任何拋物線的伴侶正方形個數(shù)為偶數(shù).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】小明在某次作業(yè)中得到如下結(jié)果:
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945,
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018,
sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873,
sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000,
sin245°+sin245°=+=1.
據(jù)此,小明猜想:對于任意銳角α,均有sin2α+sin2(90°-α)=1.
(1)當(dāng)α=30°時,驗證sin2α+sin2(90°-α)=1是否成立;
(2)小明的猜想是否成立?若成立,請給予證明;若不成立,請舉出一個反例.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一只貓頭鷹蹲在一棵樹AC的B(點B在AC上)處,發(fā)現(xiàn)一只老鼠躲進短墻DF的另一側(cè),貓頭鷹的視線被短墻遮住,為了尋找這只老鼠,它又飛至樹頂C處,已知短墻高DF=4米,短墻底部D與樹的底部A的距離為2.7米,貓頭鷹從C點觀測F點的俯角為53°,老鼠躲藏處M(點M在DE上)距D點3米.(參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
(1)貓頭鷹飛至C處后,能否看到這只老鼠?為什么?
(2)要捕捉到這只老鼠,貓頭鷹至少要飛多少米(精確到0.1米)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠C=90°,點A、B在∠C的兩邊上,CA=30,CB=20,連接AB.點P從點B出發(fā),以每秒4個單位長度的速度沿BC的方向運動,到點C停止.當(dāng)點P與B、C兩點不重合時,作PD⊥BC交AB于點D,作DE⊥AC于點E.F為射線CB上一點,使得∠CEF=∠ABC.設(shè)點P運動的時間為x秒.
(1)用含有x的代數(shù)式表示CE的長.
(2)求點F與點B重合時x的值.
(3)當(dāng)點F在線段CB上時,設(shè)四邊形DECP與四邊形DEFB重疊部分圖形的面積為y(平方單位).求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
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【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A(﹣1,0)和點B(3,0),與y軸交于點C,連接BC交拋物線的對稱軸于點E,D是拋物線的頂點.
(1)求此拋物線的解析式;
(2)直接寫出點C和點D的坐標;
(3)若點P在第一象限內(nèi)的拋物線上,且S△ABP=4S△COE,求P點坐標.注:二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的頂點坐標為.
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【題目】已知△ABC是邊長為4的等邊三角形,邊AB在射線OM上,且OA=6,點D是射線OM上的動點,當(dāng)點D不與點A重合時,將△ACD繞點C逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△BCE,連接DE.
(1)如圖1,求證:△CDE是等邊三角形.
(2)設(shè)OD=t,
①當(dāng)6<t<10時,△BDE的周長是否存在最小值?若存在,求出△BDE周長的最小值;若不存在,請說明理由.
②求t為何值時,△DEB是直角三角形(直接寫出結(jié)果即可).
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【題目】為了解同學(xué)們的身體發(fā)育情況,學(xué)校體衛(wèi)辦公室對七年級全體學(xué)生進行了身高測量(精確到1cm),并從中抽取了部分數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計,請根據(jù)尚未完成的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖解答下列問題:
頻率分布表
分組 | 頻數(shù) | 百分比 |
144.5~149.5 | 2 | 4% |
149.5~154.5 | 3 | 6% |
154.5~159.5 | a | 16% |
159.5~164.5 | 17 | 34% |
164.5~169.5 | b | n% |
169.5~174.5 | 5 | 10% |
174.5~179.5 | 3 | 6% |
(1)求a、b、n的值;
(2)補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)學(xué)校準備從七年級學(xué)生中選拔護旗手,要求身高不低于170cm,如果七年級有學(xué)生350人,護旗手的候選人大概有多少?
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【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標系,一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點A、B、C,請在網(wǎng)格中進行下列操作:
(1)請在圖中確定該圓弧所在圓心D點的位置,D點坐標為 ;
(2)連接AD、CD,求⊙D的半徑及扇形DAC的圓心角度數(shù);
(3)若扇形DAC是某一個圓錐的側(cè)面展開圖,求該圓錐的底面半徑.
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【題目】在某飛機場東西方向的地面l上有一長為1 km的飛機跑道MN(如圖),在跑道MN的正西端14.5千米處有一觀察站A.某時刻測得一架勻速直線降落的飛機位于點A的北偏西30°,且與點A相距15千米的B處;經(jīng)過1分鐘,又測得該飛機位于點A的北偏東60°,且與點A相距5千米的C處.
(1)該飛機航行的速度是多少千米/小時?(結(jié)果保留根號)
(2)如果該飛機不改變航向繼續(xù)航行,那么飛機能否降落在跑道MN之間?請說明理由.
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