Question

【題目】如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；
（2）在y軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足要求的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若點(diǎn)P（t，0）為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)P作y軸的平行線，記該直線右側(cè)與△ABC圍成的圖形面積為S，試確定S與t的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c得：

，解得： ，

則拋物線的解析式是：y=﹣ x2+ x+3

（2）

解：如圖1，作線段CA的垂直平分線，交y軸于M，交AC與N，連結(jié)AM1，則△AM1C是等腰三角形，

∵AC= = ，

∴CN= ，

∵△CNM1∽△COA，

∴ = ，

∴ = ，

∴CM1= ，

∴OM1=OC﹣CM1=3﹣ = ，

∴M1的坐標(biāo)是（0， ），

當(dāng)CA=CM2= 時(shí)，則△AM2C是等腰三角形，

則OM2=3+ ，

M2的坐標(biāo)是（0，3+ ），

當(dāng)CA=AM3= 時(shí)，則△AM3C是等腰三角形，

則OM3=3，

M3的坐標(biāo)是（0，﹣3），

當(dāng)CA=CM4= 時(shí)，則△AM4C是等腰三角形，

則OM4= ﹣3，

M4的坐標(biāo)是（0，3﹣ ），

（3）

解：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在y軸或y軸右側(cè)時(shí)，

設(shè)直線與BC交于點(diǎn)D，

∵OB=4，OC=3，

∴S△BOC=6，

∵BP=BO﹣OP=4﹣t，

∴ = ，

∵△BPD∽△BOC，

∴ =（ ）2，

∴ =（ ）2，

∴S=S△BPD= t2﹣3t+6（0≤t＜4）；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，

設(shè)直線與AC交與點(diǎn)E，

∵OP=﹣t，AP=t+2，

∴ = ，

∵ =（ ）2，

∴ =（ ）2，

∴S△APE= ，

∴S=S△ABC﹣S△APE=9﹣ =﹣ t2﹣3t+6（﹣2＜t＜0）．

【解析】（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入拋物線y=ax2+bx+c，求解即可；（2）作線段CA的垂直平分線，交y軸于M，交AC與N，連結(jié)AM1 ， 則△AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐標(biāo)，當(dāng)CA=CM2時(shí)，則△AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐標(biāo)，當(dāng)CA=AM3時(shí)，則△AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐標(biāo)，當(dāng)CA=CM4時(shí)，則△AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐標(biāo)，（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸或y軸右側(cè)時(shí)，設(shè)直線與BC交與點(diǎn)D，先求出S△BOC ， 再根據(jù)△BPD∽△BOC，得出 =（ ）2 ， =（ ）2 ， 求出S=S△BPD；當(dāng)點(diǎn)P在y軸左側(cè)時(shí)，設(shè)直線與AC交與點(diǎn)E，根據(jù) =（ ）2 ， 得出 =（ ）2 ， 求出S=S△ABC﹣S△APE=9﹣ ，再整理即可．