【題目】如圖1,已知矩形ABCD,E為AD邊上一動(dòng)點(diǎn),過A,B,E三點(diǎn)作⊙O,P為AB的中點(diǎn),連接OP,
(1)求證:BE是⊙O的直徑且OP⊥AB;
(2)若AB=BC=8,AE=6,試判斷直線DC與⊙O的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)如圖2,若AB=10,BC=8,⊙O與DC邊相交于H,I兩點(diǎn),連結(jié)BH,當(dāng)∠ABE=∠CBH時(shí),求△ABE的面積.

【答案】
(1)解:∵矩形ABCD,∴∠A=90°,∴BE為直徑,

∴OE=OB,

∵AP=BP,

∴OP//AE,AE=2PO,

∴∠OPB=∠A=90°,

即OP⊥AB.


(2)解:此時(shí)直線CD與⊙O相切

理由:如圖1,延長PO交CD于M,

在Rt△ABE中,AB=8,AE=6,

則BE2=62+82=100,

∴BE=10,

∴此時(shí)⊙O的半徑r=5,∴OM=r=5,

∵在矩形APMD中,PM=AD=8,

∴OM=PM﹣OP=5=r,

∴直線CD與⊙O相切


(3)解:【方法I】如圖2,

∵BE為直徑,

∴∠EHB=90°,

∴∠3+∠4=90°,

∵∠C=90°,

∴∠3+∠2=90°,

∴∠2=∠4,

∴當(dāng)∠1=∠2時(shí),有

tan∠1=tan∠2=tan∠4,

設(shè)AE=x,CH=y,則DE=8﹣x,DH=10﹣y,

= = ,

解得,x=20,或x=5,

∵AE=x<8,∴x=20,不合題意,舍去,取AE=x=5,

Rt△ABE的面積= AE×AB= ×5×10=25.

【方法II】如圖3,延長PO交CD于點(diǎn)F,連接OH,

在矩形FPBC,OP⊥AB,且FC=PB= AB=5,

OP= AE,OF=8﹣ AE,BE=2HO,

當(dāng)∠ABE=∠CBH時(shí),設(shè)tan∠ABE=tan∠CBH=k時(shí),

在Rt△ABE中,則AE=10tan∠ABE=10k,

在Rt△HBC中,則HC=8tan∠ABE=8k,

∴OP=5k,OF=8﹣5k,F(xiàn)H=5﹣8k,

在Rt△ABE中,BE2=AE2+AB2=100(1+k2),

在Rt△OFH中,HO2=FH2+OF2=(5﹣8k)2+(8﹣5k)2,

∵BE=2HO,∴BE2=4 HO2

∴100(1+k2)=4[(5﹣8k)2+(8﹣5k)2],

整理得,2 k2﹣5k+2=0,

解得,k=2,或k= ,

當(dāng)k=2時(shí),AE=10k=20>8,不合題意,舍去;

當(dāng)k= 時(shí),AE=10k=5<8,符合題意,

此時(shí),Rt△ABE的面積= AE×AB= ×5×10=25


【解析】(1)利用矩形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理得出OP//AE,AE=2PO,即可得出答案;(2)首先延長PO交CD于M,求出MO的長等于半徑,進(jìn)而得出答案;(3)根據(jù)題意當(dāng)∠1=∠2時(shí),可得出tan∠1=tan∠2=tan∠4,設(shè)AE=x,CH=y,則DE=8﹣x,DH=10﹣y,可得 = = ,求出x的值,即可得出答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(1)點(diǎn)C表示的數(shù)是   ;

(2)當(dāng)x=   秒時(shí),點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A處?

(3)運(yùn)動(dòng)過程中點(diǎn)P表示的數(shù)是   (用含字母x的式子表示);

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(1)請(qǐng)寫出與A,B兩點(diǎn)距離相等的點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)   

(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻PB點(diǎn)出發(fā),以6單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng),同時(shí)另一只電子螞蟻Q恰好從A點(diǎn)出發(fā),以4單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng),x秒后兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇,請(qǐng)列方程求出x,并指出點(diǎn)C表示的數(shù).

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