Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊BC上一點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別是線段AB、AD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)CE、CF、EF．

（1）求證：△CEF≌△AEF；

（2）聯(lián)結(jié)DE，當(dāng)BD＝2CD時，求證：AD＝2DE．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析.

【解析】

(1)在直角三角形ABC中,E為斜邊AB的中點(diǎn),利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CE=AE,在直角三角形ACD中,F為斜邊AD的中點(diǎn),利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AF=CF,再由EF=EF,利用SSS即可得證;
(2)由EF為三角形ABD的中點(diǎn),利用中位線定理得到EF與BD平行,EF等于BD的一半,再由BD=2DC,等量代換得到EF=CD,再由EF與CD平行,得到四邊形CEFD為平行四邊形,可得出DE=CF,再由CF=AF,等量代換得到DE=AF.

證明：（1）∵∠ACB＝90°，且E線段AB中點(diǎn)，

∴CE＝AB＝AE，

∵∠ACD＝90°，F為線段AD中點(diǎn)，

∴AF＝CF＝AD，

在△CEF和△AEF中，

，

∴△CEF≌△AEF（SSS）；

（2）連接DE，

∵點(diǎn)E、F分別是線段AB、AD中點(diǎn)，

∴EF＝BD，EF∥BC，

∵BD＝2CD，

∴EF＝CD．

又∵EF∥BC，

∴四邊形CFEDD是平行四邊形，

∴DE＝CF，

∵CF＝AF＝FD，

∴AD＝2DE．