Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），動點P從點A出發(fā)以1個單位/秒的速度在y軸上向下運動，動點Q同時從點C出發(fā)以2個單位/秒的速度在x軸上向右運動，過點P作PD⊥y軸，交OB于D，連接DQ．當(dāng)點P與點O重合時，兩動點均停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．

（1）當(dāng)t=1時，求線段DP的長；
（2）連接CD，設(shè)△CDQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并求出S的最大值；
（3）運動過程中是否存在某一時刻，使△ODQ與△ABC相似？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）S=，當(dāng)時，S最大值=4；（3）和

試題分析：（1）先由題意得到OA=4，AB=3，CO=6，再求出當(dāng)t=1時，AP、OP的長，最后根據(jù)PD⊥y軸，AB⊥y軸，結(jié)合平行線分線段成比例即可列比例式求解；
（2）作DE⊥CO于點E，分別用含t的字母表示出CQ、AP、OP，即可表示出DE的長，再根據(jù)三角形的面積公式即可得到S關(guān)于t的函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得S的最大值；
（3）分和兩種情況，結(jié)合相似三角形的判定方法討論即可.
（1）由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，
當(dāng)t=1時，AP=1，則OP=3，
∵PD⊥y軸，AB⊥y軸
∴PD∥AB
∴ 
∴ 
解得DP=；
（2）CQ=2t，AP=t，OP=4–t
作DE⊥CO于點E，則DE=OP=4–t   
∴S==×2t×(4–t)=   
當(dāng)時，S最大值=4
（3）分兩種情況討論：
①當(dāng)時，點Q在CO上運動（當(dāng)t=3時，△ODQ不存在）
∵AB∥CO 
∴∠BOC=∠ABO<∠ABC
可證得BO=BC
∴∠BOC=∠BCO>∠BCA
∵AB∥CO
∴∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC
∴當(dāng)時，△ODQ與△ABC不可能相似。
②當(dāng)時，點Q在x軸正半軸上運動，
延長AB，由AB∥CO可得∠FBC=∠BCO=∠BOC，
∴∠ABC=∠DOQ
OQ=，由DP∥AB可得OD=
當(dāng)時，
 ，在內(nèi)；
當(dāng)時，
，在內(nèi)；
∴存在和，使△ODQ與△ABC相似。
點評：解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握求二次函數(shù)的最值的方法：公式法或配方法；同時熟練運用平行線分線段成比例，準(zhǔn)確列出比例式解決問題.