Question

【題目】如圖，是邊長為12的等邊三角形，點是邊上一動點，由點向點運動（與、不重合），點是延長線上一點，與點同時以相同的速度由點向延長線方向運動（點不與點重合），過點作于，連接交于點．

（1）當時，求的長；

（2）證明：在運動過程中，點是線段的中點；

（3）點，點運動過程中線段的長是否為定值？如果線段的長為定值，求出線段的長；如果線段的長不為定值，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）線段的長為定值，

【解析】

（1）設(shè)，則，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和可得，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可；

（2）如圖（見解析），過點作，交于點，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)得出，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)即可得證；

（3）先根據(jù)題（2）可知，再根據(jù)線段的和差、即可得出答案．

（1）設(shè)，則

∵是等邊三角形

∴

∵，

∴

則在中，

即

解得

故AM的長為4；

（2）如圖，過點作，交于點

∴

∴是等邊三角形

∴

∴

在和中，

∴

∴

即在運動過程中，點是線段的中點；

（3）線段的長為定值．求解過程如下：

由（2）知，是等邊三角形

∵

∴

由（2）的結(jié)論可知：

∴

又∵

∴

故線段的長為定值6．