【題目】如圖,已知ABC內(nèi)接于O,點(diǎn)C在劣弧AB上(不與點(diǎn)A,B重合),點(diǎn)D為弦BC的中點(diǎn),DEBC,DE與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E,射線AO與射線EB交于點(diǎn)F,與O交于點(diǎn)G,設(shè)GAB=ɑ,ACB=β,EAG+EBA=γ,

(1)點(diǎn)點(diǎn)同學(xué)通過(guò)畫(huà)圖和測(cè)量得到以下近似數(shù)據(jù):

ɑ

30°

40°

50°

60°

β

120°

130°

140°

150°

γ

150°

140°

130°

120°

猜想:β關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式,γ關(guān)于ɑ的函數(shù)表達(dá)式,并給出證明:

(2)若γ=135°,CD=3,ABE的面積為ABC的面積的4倍,求O半徑的長(zhǎng).

【答案】(1)β=α+90°,γ=﹣α+180°(2)5

【解析】

試題分析:(1)由圓周角定理即可得出β=α+90°,然后根據(jù)D是BC的中點(diǎn),DEBC,可知EDC=90°,由三角形外角的性質(zhì)即可得出CED=α,從而可知O、A、E、B四點(diǎn)共圓,由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可知:EBO+EAG=180°,即γ=﹣α+180°;

(2)由(1)及γ=135°可知BOA=90°,BCE=45°,BEC=90°,由于ABE的面積為ABC的面積的4倍,所以,根據(jù)勾股定理即可求出AE、AC的長(zhǎng)度,從而可求出AB的長(zhǎng)度,再由勾股定理即可求出O的半徑r.

試題解析:(1)猜想:β=α+90°,γ=﹣α+180°

連接OB,

由圓周角定理可知:2BCA=360°﹣BOA,

OB=OA,

∴∠OBA=OAB=α,

∴∠BOA=180°﹣2α,

2β=360°﹣(180°﹣2α),

β=α+90°,

D是BC的中點(diǎn),DEBC,

OE是線段BC的垂直平分線,

BE=CE,BED=CED,EDC=90°

∵∠BCA=EDC+CED,

β=90°+CED,

∴∠CED=α,

∴∠CED=OBA=α,

O、A、E、B四點(diǎn)共圓,

∴∠EBO+EAG=180°,

∴∠EBA+OBA+EAG=180°,

γ+α=180°;

(2)當(dāng)γ=135°時(shí),此時(shí)圖形如圖所示,

α=45°,β=135°,

∴∠BOA=90°,BCE=45°,

由(1)可知:O、A、E、B四點(diǎn)共圓,

∴∠BEC=90°,

∵△ABE的面積為ABC的面積的4倍,

,

設(shè)CE=3x,AC=x,

由(1)可知:BC=2CD=6,

∵∠BCE=45°,

CE=BE=3x,

由勾股定理可知:(3x)2+(3x)2=62

x=,

BE=CE=3,AC=,

AE=AC+CE=4

在RtABE中,

由勾股定理可知:AB2=(32+(42

AB=5,

∵∠BAO=45°,

∴∠AOB=90°,

在RtAOB中,設(shè)半徑為r,

由勾股定理可知:AB2=2r2,

r=5,

∴⊙O半徑的長(zhǎng)為5.

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(1)當(dāng)為何值時(shí),直線過(guò)點(diǎn)?

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A.∠A,∠B,∠C
B.∠A,線段AB,∠B
C.∠A,∠C,線段AB
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