Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對“隔離直線”給出如下定義：
點P（x，m）是圖形G1上的任意一點，點Q（x，n）是圖形G2上的任意一點，若存在直線l：kx+b（k≠0）滿足m≤kx+b且n≥kx+b，則稱直線l：y=kx+b（k≠0）是圖形G1與G2的“隔離直線”．
如圖，直線l：y=-x-4是函數(shù)y=（x＜0）的圖象與正方形OABC的一條“隔離直線”．
（1）在直線y1=-2x，y2=3x+1，y3=-x+3中，是如圖函數(shù)y=（x＜0）的圖象與正方形OABC的“隔離直線”的為y1=-2x；
請你再寫出一條符合題意的不同的“隔離直線”的表達式：y=-3x；
（2）如圖，第一象限的等腰直角三角形EDF的兩腰分別與坐標(biāo)軸平行，直角頂點D的坐標(biāo)是（，1），⊙O的半徑為2．是否存在△EDF與⊙O的“隔離直線”？若存在，求出此“隔離直線”的表達式；若不存在，請說明理由；
（3）正方形A1B1C1D1的一邊在y軸上，其它三邊都在y軸的右側(cè)，點M（1，t）是此正方形的中心．若存在直線y=2x+b是函數(shù)y=x2-2x-3（0≤x≤4）的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”，請直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y1=-2x，y=-3x；（2）y=-x+4；（3）當(dāng)t≥2或t≤-8時，直線y=2x+b是函數(shù)y=x2-2x-3（0≤x≤4）的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”．

【解析】

（1）根據(jù)的“隔離直線”的定義即可解決問題；
（2）連接OD，過點D作DG⊥x軸于點G，如圖．過點D作DH⊥OD交y軸于點H，易知直線DH是⊙O的切線，也是△EDF與⊙O的“隔離直線”，求出直線DH即可解決問題；
（3）分兩種情形正方形在x軸上方以及在x軸下方時，分別求出正方形的一個頂點在直線y=2x+b上時的t的值即可解決問題．

解：（1）根據(jù)的“隔離直線”的定義可知y1=-2x，是圖1函數(shù)y=（x＜0）的圖象與正方形OABC的“隔離直線”，
直線y=-3x也是圖1函數(shù)y=（x＜0）的圖象與正方形OABC的“隔離直線”，
故答案為y1=-2x，y=-3x．
（2）連接OD，過點D作DG⊥x軸于點G，如圖．

在Rt△DGO中，OD=，

∴∠1=30°，∠2=60°，
∵⊙O的半徑為2，
∴點D在⊙O上．
過點D作DH⊥OD交y軸于點H，
∴直線DH是⊙O的切線，也是△EDF與⊙O的“隔離直線”．
在Rt△ODH中，OH=
∴點H的坐標(biāo)是（0，4），
∴直線DH的表達式為y=-x+4，
即所求“隔離直線”的表達式為y=-x+4．
（3）如圖，

由題意F（4，5），當(dāng)直線y=2x+b經(jīng)過點F時，5=8+b，
∴b=-3，
∴直線y=2x-3，即圖中直線EF，
∵正方形A1B1C1D1的中心M（1，t），
易知正方形正方形A1B1C1D1的邊長為2，
當(dāng)x=2時，y=1，
∴C1（2，1），直線EF是函數(shù)y=x2-2x-3（0≤x≤4）的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”，此時t=2，
當(dāng)直線y=2x+b與y=x2-2x-3只有一個交點時，

消去y得到x2-4x-3+b=0，
由△=0，可得16-4（-3-b）=0，
解得b=-7，
此時易知M（1，-8），t=-8，
根據(jù)圖象可知，當(dāng)t≥2或t≤-8時，直線y=2x+b是函數(shù)y=x2-2x-3（0≤x≤4）的圖象與正方形A1B1C1D1的“隔離直線”．