Question

【題目】△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD=BD，∠1=∠2，求證：CM⊥AD。

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，AD與CM交于點(diǎn)G，根據(jù)∠B=∠BCE=45°，CD=BD，∠1=∠2證明△CDF≌△BDM，得到CF=BM，然后再由AC=BC及通過SAS證明△ACF≌△CBM，得到∠CAF=∠BCM，再根據(jù)角之間的等量代換可證明∠CFG+∠ECM=90°，問題得證.

證明：過點(diǎn)C作CE⊥AB交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，AD與CM交于點(diǎn)G，

∵AC=BC，∠ACB=90°，

∴∠B=∠BCE=45°，

在△CDF和△BDM中，，

∴△CDF≌△BDM（ASA），

∴CF=BM，

在△ACF和△CBM中，，

∴△ACF≌△CBM（SAS），

∴∠CAF=∠BCM，

∵∠BCM +∠ECM =∠CAF+∠EAF=45°，

∴∠ECM =∠EAF，

∵∠AFE=∠CFG，且∠AFE+∠EAF=90°，

∴∠CFG+∠ECM=90°，即∠CGF=90°，

∴CM⊥AD.