【題目】(初步探索)
截長補短法,是初中幾何題中一種添加輔助線的方法,也是把幾何題化難為易的一種策略.截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等,補短就是通過延長或旋轉(zhuǎn)等方式使兩條短邊拼合到一起,從而解決問題.
(1)如圖1,△ABC是等邊三角形,點D是邊BC下方一點,∠BDC=120°,探索線段DA、DB、DC之間的數(shù)量關系;
(靈活運用)
(2)如圖2,△ABC為等邊三角形,直線a∥AB,D為BC邊上一點,∠ADE交直線a于點E,且∠ADE=60°.求證:CD+CE=CA;
(延伸拓展)
(3)如圖3,在四邊形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AB=AD.若點E在CB的延長線上,點F在CD的延長線上,滿足EF=BE+FD,請直接寫出∠EAF與∠DAB的數(shù)量關系.
【答案】(1)DA=DC+DB,證明見詳解;(2)見詳解;(3)∠EAF=,證明見詳解.
【解析】
(1)由等邊三角形知AB=AC,∠BAC=60°,結(jié)合∠BDC=120°知∠ABD+∠ACD=180°,由∠ACE+∠ACD=180°知∠ABD=∠ACE,證△ABD≌△ACE得AD=AE,∠BAD=∠CAE,再證△ADE是等邊三角形得DA=DE=DC+CE=DC+DB;
(2)首先在AC上截取CM=CD,由△ABC為等邊三角形,易得△CDM是等邊三角形,繼而可證得△ADM≌△EDC,即可得AM=EC,則可證得CD+CE=CA;
(3)在DC延長線上取一點G,使得DG=BE,連接AG,先判定△ADG≌△ABE,再判定△AEF≌△AGF,得出∠FAE=∠FAG,最后根據(jù)∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°,進而推導得到2∠FAE+∠DAB=360°,即可得出結(jié)論.
(1)如圖1,延長DC到點E,使CE=BD,連接AE,
∵△ABC是等邊三角形,
∴AB=AC,∠BAC=60°,
∵∠BDC=120°,
∴∠ABD+∠ACD=180°,
又∵∠ACE+∠ACD=180°,
∴∠ABD=∠ACE,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE,
∵∠BAC=60°,即∠BAD+∠DAC=60°,
∴∠DAC+∠CAE═60°,即∠DAE=60°,
∴△ADE是等邊三角形,
∴DA=DE=DC+CE=DC+DB,
即DA=DC+DB;
(2)證明:在AC上截取CM=CD,
∵△ABC是等邊三角形,
∴∠ACB=60°,
∴△CDM是等邊三角形,
∴MD=CD=CM,∠CMD=∠CDM=60°,
∴∠AMD=120°,
∵∠ADE=60°,
∴∠ADE=∠MDC,
∴∠ADM=∠EDC,
∵直線a∥AB,
∴∠ACE=∠BAC=60°,
∴∠DCE=120°=∠AMD,
在△ADM和△EDC中,
∴△ADM≌△EDC(ASA),
∴AM=EC,
∴CA=CM+AM=CD+CE;
即CD+CE=CA.
(3)∠EAF=;
證明:如圖3,在DC延長線上取一點G,使得DG=BE,連接AG,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠ABE=180°,
∴∠ADC=∠ABE,
又∵AB=AD,
∴△ADG≌△ABE(SAS),
∴AG=AE,∠DAG=∠BAE,
∵EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,
∴△AEF≌△AGF(SSS),
∴∠FAE=∠FAG,
∵∠FAE+∠FAG+∠GAE=360°,
∴2∠FAE+(∠GAB+∠BAE)=360°,
∴2∠FAE+(∠GAB+∠DAG)=360°,
即2∠FAE+∠DAB=360°,
∴∠EAF=.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】中國古代數(shù)學家們對于勾股定理的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數(shù)學史上具有獨特的貢獻和地位,體現(xiàn)了數(shù)學研究中的繼承和發(fā)展.現(xiàn)用4個全等的直角三角形拼成如圖所示“弦圖”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若,請你利用這個圖形解決下列問題:
(1)試說明;
(2)如果大正方形的面積是10,小正方形的面積是2,求的值.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,直線y=x+2分別與x軸、y軸相交于點A、點B
(1)求點A和點B的坐標;
(2)若點P是y軸上的一點,設△AOB、△ABP的面積分別為S△AOB與S△ABP,且S△ABP=2S△AOB,求點P的坐標.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=5,AC=8,BD,CD分別平分∠ABC,∠ACB,過點D作直線平行于BC,交AB,AC于E,F,則△AEF的周長為( 。
A.11B.13C.15D.18
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,CF⊥AB,垂足為F,M為BC的中點,E為AC上一點,且ME=MF.若∠A=50°,則∠FME的度數(shù)為________.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是ΔABC的角平分線,DE⊥AC,垂足為E,BF∥AC交ED的延長線于點F,BC恰好平分∠ABF,下列結(jié)論錯誤的是( )
A.DE=DFB.AC=3DFC.BD=DCD.AD⊥BC
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,AB=AC,點D是BC的中點,AB平分∠DAE,AE⊥BE,垂足為E,連接DE交AB于點F.
求證:(1)CD=BE;
(2)AB垂直平分DE.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α.
(1)求證:BE=AD;
(2)當α=90°時,取AD,BE的中點分別為點P、Q,連接CP,CQ,PQ,如圖②,判斷△CPQ的形狀,并加以證明.
查看答案和解析>>
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某商場分兩次購進A,B兩種商品進行銷售,兩次購進同一種商品的進價相同,具體情況如表所示:
購進數(shù)量件 | 購進所需費用元 | ||
A | B | ||
第一次 | 30 | 20 | 2200 |
第二次 | 20 | 30 | 2800 |
求A,B兩種商品每件的進價分別是多少元?
商場決定A種商品以每件30元出售,B種商品以每件100元出售為滿足”五一“小長假期間市場需求,需購進A,B兩種商品共1000件,且A種商品的數(shù)量不少于B種商品數(shù)量的4倍,請你求出獲利最大的進貨方案,此時最大利潤是多少?
查看答案和解析>>
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報平臺 | 網(wǎng)上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com