Question

如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，直線AD交拋物線于點(diǎn)D（2，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）已知點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)四邊形AMCO的面積最大？并求出最大值；
（3）當(dāng)四邊形AMCO面積最大時(shí)，過點(diǎn)M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）拋物線的解析式為.　
(2) 當(dāng)點(diǎn)M為(－2，－3)時(shí)四邊形AMCO面積有最大值，最大值為8．
(3) 存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．　　

解析試題分析：（1）由待定系數(shù)法即可得；
（2）連接OM，則四邊形AMCO可分為兩個(gè)三角形，設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出兩個(gè)三角形的面積，進(jìn)而可得到面積的最大值
（3）可以先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)，然后根據(jù)題中的條件進(jìn)行計(jì)算即可
試題解析：（1）∵拋物線的對(duì)稱軸是直線,
∴，解得.
∵拋物線經(jīng)過D(2,3),
∴，解得.
∴拋物線的解析式為.
（2）拋物線的解析式為：,
令x＝0，得y＝﹣2，∴C（0， -2）．
令y＝0，得x＝﹣4或1，∴A(-4，0)、B（1，0）．
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m，)，連接MO．
則S_{四邊形AMCO}＝S_△AMO＋S_△CMO
＝
＝
∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，＝－3
∴當(dāng)點(diǎn)M為(－2，－3)時(shí)四邊形AMCO面積有最大值，最大值為8．　　

（3）假設(shè)存在這樣的⊙Q．
設(shè)直線x＝﹣2與x軸交于點(diǎn)G，與直線BC交于點(diǎn)F．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b，
將B（1，0）、C（0，﹣2）代入得：
，解得：k＝2，b＝﹣2，
∴直線BC解析式為：y＝2x﹣2，
令x＝﹣2，得y＝﹣6，∴F（﹣2，﹣6），GF＝6．
在Rt△BGF中，由勾股定理得：
,
設(shè)Q（﹣2，n），則在Rt△QGO中，由勾股定理得：
.
設(shè)⊙Q與直線BC相切于點(diǎn)E，則QE＝OQ＝．
在Rt△BGF與Rt△QEF中，
∵∠BGF＝∠QEF＝90°，∠BFG＝∠QFE，
∴Rt△BGF∽R(shí)t△QEF.
∴，即.
化簡(jiǎn)得：n²﹣3n﹣4＝0，解得n＝4或n＝﹣1．
∴存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線BC相切的圓，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（﹣2，4）或（﹣2，﹣1）．

考點(diǎn)：1、待定系數(shù)法；2、二次函數(shù)的性質(zhì)；3、勾股定理；4、切線的性質(zhì)