Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)O（0，0），A（5，0），B（4，4）．
（1）求過(guò)O、B、A三點(diǎn)的拋物線(xiàn)的解析式．
（2）在第一象限的拋物線(xiàn)上存在點(diǎn)M，使以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形面積最大，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）作直線(xiàn)x=m交拋物線(xiàn)于點(diǎn)P，交線(xiàn)段OB于點(diǎn)Q，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，求m的值．

Answer 1

（1）該拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x（x﹣5）=﹣x²+5x；
（2）M（2，6）；
（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，m的值為1，2或．

解析試題分析：（1）由于拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)已知，因此拋物線(xiàn)的解析式可設(shè)成交點(diǎn)式，然后把點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，即可求出拋物線(xiàn)的解析式；
（2）以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個(gè)三角形面積最大，則四邊形面積即最大；求出另一個(gè)三角形面積的表達(dá)式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定其最值；本問(wèn)需分類(lèi)討論：
①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)OB段上時(shí)，如答圖1所示；
②當(dāng)4＜x≤5時(shí)，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)AB段上時(shí)，圖略．
（3）△PQB為等腰三角形時(shí)，有三種情形，需要分類(lèi)討論，避免漏解：
①若點(diǎn)B為頂點(diǎn)，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示；
②若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示；
③若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．
試題解析：（1）∵該拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（5，0），O（0，0），
∴該拋物線(xiàn)的解析式可設(shè)為y=a（x﹣0）（x﹣5）=ax（x﹣5）．
∵點(diǎn)B（4，4）在該拋物線(xiàn)上，
∴a×4×（4﹣5）=4．
∴a=﹣1．
∴該拋物線(xiàn)的解析式為y=﹣x（x﹣5）=﹣x²+5x；
（2）以O(shè)、A、B、M為頂點(diǎn)的四邊形中，△OAB的面積固定，因此只要另外一個(gè)三角形面積最大，則四邊形面積即最大．
①當(dāng)0＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)OB段上時(shí)，如答圖1所示．

∵B（4，4），∴易知直線(xiàn)OB的解析式為：y=x．
設(shè)M（x，﹣x²+5x），
過(guò)點(diǎn)M作ME∥y軸，交OB于點(diǎn)E，則E（x，x），
∴ME=（﹣x²+5x）﹣x=﹣x²+4x．
S_△OBM=S_△MEO+S_△MEB=ME（x_E﹣0）+ME（x_B﹣x_E）=ME•x_B=ME×4=2ME，
∴S_△OBM=﹣2x²+8x=﹣2（x﹣2）²+8
∴當(dāng)x=2時(shí)，S_△OBM最大值為8，即四邊形的面積最大．
②當(dāng)4＜x≤5時(shí)，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)AB段上時(shí)，
可求得直線(xiàn)AB解析式為：y=﹣4x+20．
設(shè)M（x，﹣x²+5x），
過(guò)點(diǎn)M作ME∥y軸，交AB于點(diǎn)E，則E（x，﹣4x+20），
∴ME=（﹣x²+5x）﹣（﹣4x+20）=﹣x²+9x﹣20．
S_△ABM=S_△MEB+S_△MEA=ME（x_E﹣x_B）+ME（x_A﹣x_E）=ME•（x_A﹣x_B）=ME×1=ME，
∴S_△ABM=﹣x²+x﹣10=﹣（x﹣）²+
∴當(dāng)x=時(shí)，S_△ABM最大值為，即四邊形的面積最大．
比較①②可知，當(dāng)x=2時(shí)，四邊形面積最大．
當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣x²+5x=6，
∴M（2，6）；
（3）由題意可知，點(diǎn)P在線(xiàn)段OB上方的拋物線(xiàn)上．
設(shè)P（m，﹣m²+5m），則Q（m，m）
當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，
①若點(diǎn)B為頂點(diǎn)，即BP=BQ，如答圖2﹣1所示．
過(guò)點(diǎn)B作BE⊥PQ于點(diǎn)E，則點(diǎn)E為線(xiàn)段PQ中點(diǎn)，
∴E（m，）．
∵BE∥x軸，B（4，4），
∴=4，
解得：m=2或m=4（與點(diǎn)B重合，舍去）
∴m=2；

②若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=PB，如答圖2﹣2所示．
易知∠BOA=45°，∴∠PQB=45°，則△PQB為等腰直角三角形．
∴PB∥x軸，
∴﹣m²+5m=4，
解得：m=1或m=4（與點(diǎn)B重合，舍去）
∴m=1；
③若點(diǎn)P為頂點(diǎn)，即PQ=QB，如答圖2﹣3所示．
∵P（m，﹣m²+5m），Q（m，m），
∴PQ=﹣m²+4m．
又∵QB=（x_B﹣x_Q）=（4﹣m），
∴﹣m²+4m=（4﹣m），
解得：m=或m=4（與點(diǎn)B重合，舍去），
∴m=．
綜上所述，當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí)，m的值為1，2或．
考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．