Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=12cm，BC=12cm；動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始沿CA以2cm/s的速度向點(diǎn)A移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)A開始沿AB以4cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B開始沿BC以 2cm/s的速度向點(diǎn)C移動(dòng)．如果P、Q、R分別從C、A、B同時(shí)移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為t（0＜t＜6）s．

（1）∠CAB的度數(shù)是 ；

（2）以CB為直徑的⊙O與AB交于點(diǎn)M，當(dāng)t為何值時(shí)，PM與⊙O相切？

（3）寫出△PQR的面積S隨動(dòng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并求S的最小值及相應(yīng)的t值；

（4）是否存在△APQ為等腰三角形？若存在，求出相應(yīng)的t值；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）t=3s時(shí)，PM與⊙O相切；（3）當(dāng)t=3s時(shí)，cm2；（4）當(dāng)s時(shí)，△APQ是等腰三角形．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意和正切的定義以及特殊角的三角函數(shù)值解答即可；

（2）連接OP，OM，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠PMO=90°，證明Rt△PMO≌Rt△PCO，△OBM是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和正切的概念解答；

（3）過點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，根據(jù)余弦的概念用t表示出QE，根據(jù)三角形的面積公式和二次函數(shù)的性質(zhì)解答；

（4）分PQ1=AQ1=4t、AP=AQ2=4t、PA=PQ3=4t三種情況，作出輔助線，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計(jì)算即可．

解：（1）∵∠C=90°，CA=12cm，BC=12cm，

∴tan∠CAB==，

∴∠CAB=30°，

故答案為：30°；

（2）如圖1，連接OP，OM．

當(dāng)PM與⊙O相切時(shí)，有∠PMO=∠PCO=90°，

∵MO=CO，PO=PO，

∴Rt△PMO≌Rt△PCO，

∴∠MOP=∠COP；

由（1）知∠OBA=60°，

∵OM=OB，

∴△OBM是等邊三角形，

∴∠BOM=60°，

∴∠MOP=∠COP=60°，

∴CP=COtan∠COP=6tan60°=，

又∵

∴t=

∴t=3，

即：t=3s時(shí)，PM與⊙O相切；

（3）如圖2，過點(diǎn)Q作QE⊥AC于點(diǎn)E，

∵∠BAC=30°，AQ=4t，

∴AE=AQcos∠BAC=4tcos30°=，

∴==；

∴S△PQR=S△ACB﹣S△AQP﹣S△QBR﹣S△PCR

=

=

=（0＜t＜6），

∴當(dāng)t=3s時(shí)，cm2；

（4）存在．如圖3，分三種情況：

①PQ1=AQ1=4t時(shí)，過點(diǎn)Q1作Q1D⊥AC于點(diǎn)D，

則，

∴，

∴t=2；

②當(dāng)AP=AQ2=4t時(shí)，

∵，

∴=，

③當(dāng)PA=PQ3=4t時(shí)，

過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，

AH=PAcos30°==18﹣3tAQ3=2AH=36﹣6t，

∴36﹣6t=4t，

∴t=3.6，

綜上所述，當(dāng)s時(shí)，△APQ是等腰三角形．