【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4,0),一次函數(shù) 的圖像分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、點(diǎn)B.

(1)若點(diǎn)D是直線AB在第一象限內(nèi)的點(diǎn),且BD=BC,試求出點(diǎn)D的坐標(biāo).
(2)在⑴的條件下,若點(diǎn)Q是坐標(biāo)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),試探索在第一象限是否存在另一個(gè)點(diǎn)P,使得以B、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形(BD為菱形的一邊)?若存在,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】
(1)解:如圖1,設(shè)點(diǎn)D(3a,4a+3),
過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E,把x=0代入y= x+3中,得,y=3,

∴OB=3,
∴BE=OE-OB=4a+3-3=4a,BC= =5,
在Rt△BED中,根據(jù)勾股定理得,(3a)2+(4a)2=52 ,
∴a=±1,
∵點(diǎn)D在第一象限,
∴a=1,
∴D(3,7)
(2)解:由(1)知,BD=BC=5,
①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí),
設(shè)Q(0,q),
∵使得以B,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形(BD為菱形的一邊),且點(diǎn)P在第一象限內(nèi),
即:四邊形BDPQ是菱形,
∴PQ∥BD,DP∥BQ,
∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為3,
∵四邊形BDPQ是菱形,
∴BQ=BD=5,
∵B(0,3),
∴Q(0,8)或(0,-2),
Ⅰ、當(dāng)點(diǎn)Q(0,8)時(shí),
∵直線BD的解析式為y= x+3,
∴直線PQ的解析式為y= x+8,
當(dāng)x=3時(shí),y=12,
∴P(3,12),
Ⅱ、點(diǎn)Q(0,-2)時(shí),
∵直線BD的解析式為y= x+3,
∴直線PQ的解析式為y= x-2,
當(dāng)x=3時(shí),y=2,
∴P(3,2),
②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí),
設(shè)Q(m,0),),
∵使得以B,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形是菱形(BD為菱形的一邊),且點(diǎn)P在第一象限內(nèi),
即:四邊形BDPQ是菱形,
∴BQ=BD=5,
∵OB=3,
∴OQ=4,
∴Q(-4,0)或(4,0)
Ⅰ、當(dāng)Q(-4,0)時(shí),∵一次函數(shù)y= x+3的圖象交x軸于點(diǎn)A,
∴A(- ,0),
∴點(diǎn)Q在點(diǎn)A的左側(cè),
∴點(diǎn)P在第二象限內(nèi),不符合題意,舍去,
Ⅱ、當(dāng)點(diǎn)Q(4,0)時(shí),∵四邊形BDPQ是菱形,
∴BQ∥DP,PQ∥BD,
∵直線BD的解析式為y= x+3,
∴設(shè)直線PQ的解析式為y= x+b,
×4+b=0,
∴b=- ,
∴直線PQ的解析式為y= x- ①,
∵B(0,3),Q(4,0),
∴直線BQ的解析式為y=- x+3,
∵D(3,7),
∴直線DP的解析式為y=- x+ ②,
聯(lián)立①②解得,x=7,y=4,
∴P(7,4),
即:滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,12)、(3,2)、(7,4).
【解析】(1)過點(diǎn)D作DE⊥y軸于E,先求出直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo),再根據(jù)勾股定理求出BC的長(zhǎng),然后在Rt△BED中用勾股定理建立方程求出a的值,就可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)。
(2)分兩種情況討論:①當(dāng)點(diǎn)Q在y軸上時(shí),利用菱形的性質(zhì)求出BQ=5,再求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(0,8)或(0,-2),然后利用菱形的性質(zhì)求出當(dāng)點(diǎn)Q為(0,8)和(0,-2)時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo);②當(dāng)點(diǎn)Q在x軸上時(shí),先求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,0)或(4,0),然后利用菱形的性質(zhì)分別求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-4,0)和(4,0)時(shí)的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

練習(xí)冊(cè)系列答案
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x

1

1.1

1.2

1.3

1.4

y

﹣1

﹣0.49

0.04

0.59

1.16

那么方程x2+3x﹣5=0的一個(gè)近似根是(
A.1
B.1.1
C.1.2
D.1.3

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(1)M、N兩地之間的距離為   km;

(2)求線段BC所表示的y與t之間的函數(shù)表達(dá)式;

(3)若乙到達(dá)N地后,甲,乙立即以各自原速度返回M地,請(qǐng)?jiān)趫D②所給的直角坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)圖象.

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上網(wǎng)查找學(xué)習(xí)資源方式頻數(shù)分布表

查找方式

頻數(shù)

頻率

搜索引擎

16

32%

專題網(wǎng)站

15

a

在線網(wǎng)校

4

8%

試題題庫(kù)

10

20%

其他

b

10%

(1)頻數(shù)分布表中a,b的值:a=   ;b=   

(2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

(3)若全校有1000名學(xué)生,估計(jì)該校利用搜索引擎上網(wǎng)查找學(xué)習(xí)資源的學(xué)生有多少名?

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