【題目】如圖1,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A(2,0),B(﹣4,0)兩點.

(1)求該拋物線的解析式;

(2)若拋物線交y軸于C點,在該拋物線的對稱軸上是否存在點Q,使得QAC的周長最小?若存在,求出Q點的坐標;若不存在,請說明理由.

(3)在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點P,使得PBC的面積最大?若存在,求出點P的坐標及PBC的面積最大值;若不存,請說明理由.

【答案】(1):y=﹣x2﹣2x+8;(2)點Q(﹣1,6)即為所求;(3)點P的坐標為(﹣2,8).

【解析】

試題分析:(1)直接利用待定系數(shù)求出二次函數(shù)解析式即可;

(2)首先求出直線BC的解析式,再利用軸對稱求最短路線的方法得出答案;

(3)根據(jù)SBPC=S四邊形BPCO﹣SBOC=S四邊形BPCO﹣16,得出函數(shù)最值,進而求出P點坐標即可.

解:(1)將A(2,0),B(﹣4,0)代入得:

,

解得:

則該拋物線的解析式為:y=﹣x2﹣2x+8;

(2)如圖1,點A關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點B,設(shè)直線BC的解析式為:y=kx+d,

將點B(﹣4,0)、C(0,8)代入得:

,

解得:,

故直線BC解析式為:y=2x+8,

直線BC與拋物線對稱軸 x=﹣1的交點為Q,此時QAC的周長最。

解方程組得,

則點Q(﹣1,6)即為所求;

(3)如圖2,過點P作PEx軸于點E,

P點(x,﹣x2﹣2x+8)(﹣4<x<0)

SBPC=S四邊形BPCO﹣SBOC=S四邊形BPCO﹣16

若S四邊形BPCO有最大值,則SBPC就最大

S四邊形BPCO=SBPE+S直角梯形PEOC

=BEPE+OE(PE+OC)

=(x+4)(﹣x2﹣2x+8)+(﹣x)(﹣x2﹣2x+8+8)

=﹣2(x+2)2+24,

當x=﹣2時,S四邊形BPCO最大值=24,

SBPC最大=24﹣16=8,

當x=﹣2時,﹣x2﹣2x+8=8,

點P的坐標為(﹣2,8).

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