【題目】已知:△ABC內接于⊙O,D是 上一點,OD⊥BC,垂足為H.
(1)如圖1,當圓心O在AB邊上時,求證:AC=2OH;
(2)如圖2,當圓心O在△ABC外部時,連接AD、CD,AD與BC交于點P,求證:∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的條件下,如圖3,連接BD,E為⊙O上一點,連接DE交BC于點Q、交AB于點N,連接OE,BF為⊙O的弦,BF⊥OE于點R交DE于點G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=5 ,BN=3 ,tan∠ABC= ,求BF的長.
【答案】
(1)解:∵OD⊥BC,
∴由垂徑定理可知:點H是BC的中點,
∵點O是AB的中點,
∴OH是△ABC的中位線,
∴AC=2OH;
(2)解:∵OD⊥BC,
∴由垂徑定理可知: ,
∴∠BAD=∠CAD,
∵ ,
∴∠ABC=∠ADC,
∴180°﹣∠BAD﹣∠ABC=180°﹣∠CAD﹣∠ADC,
∴∠ACD=∠APB,
(3)解:連接AO延長交于⊙O于點I,連接IC,AB與OD相交于點M,
∵∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,
∴∠ACD﹣∠BDN=∠ABD+∠BDN,
∵∠ABD+∠BDN=∠AND,
∴∠ACD﹣∠BDN=∠AND,
∵∠ACD+∠ABD=180°,
∴∠ABD+∠BDN=180°﹣∠AND,
∴∠AND=180°﹣∠AND,
∴∠AND=90°,
∵tan∠ABC= ,BN=3 ,
∴NQ= ,
∴由勾股定理可求得:BQ= ,
∵∠BNQ=∠QHD=90°,
∴∠ABC=∠QDH,
∵OE=OD,
∴∠OED=∠QDH,
∵∠ERG=90°,
∴∠OED=∠GBN,
∴∠GBN=∠ABC,
∵AB⊥ED,
∴BG=BQ= ,GN=NQ= ,
∵AI是⊙O直徑,
∴∠ACI=90°,
∵tan∠AIC=tan∠ABC= ,
∴ = ,
∴IC=10 ,
∴由勾股定理可求得:AI=25,
連接OB,
設QH=x,
∵tan∠ABC=tan∠ODE ,
∴ ,
∴HD=2x,
∴OH=OD﹣HD= ﹣2x,
BH=BQ+QH= +x,
由勾股定理可得:OB2=BH2+OH2,
∴( )2=( +x)2+( ﹣2x)2,
解得:x= 或x= ,
當QH= 時,
∴QD= QH= ,
∴ND=QD+NQ=6 ,
∴MN=3 ,MD=15
∵MD ,
∴QH= 不符合題意,舍去,
當QH= 時,
∴QD= QH=
∴ND=NQ+QD=4 ,
由垂徑定理可求得:ED=10 ,
∴GD=GN+ND=
∴EG=ED﹣GD= ,
∵tan∠OED= ,
∴ ,
∴EG= RG,
∴RG= ,
∴BR=RG+BG=12
∴由垂徑定理可知:BF=2BR=24.
【解析】本題考查圓的綜合問題,涉及圓周角定理,中位線的性質,銳角三角函數,勾股定理等知識,綜合性較強,解答本題需要我們熟練各部分的內容,對學生的綜合能力要求較高,一定要注意將所學知識貫穿起來.(1)OD⊥BC可知點H是BC的中點,又中位線的性質可得AC=2OH;(2)由垂徑定理可知: ,所以∠BAD=∠CAD,由因為∠ABC=∠ADC,所以∠ACD=∠APB;(3)由∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN可知∠AND=90°,由tan∠ABC= 可知NQ和BQ的長度,再由BF⊥OE和OD⊥BC可知∠GBN=∠ABC,所以BG=BQ,連接AO并延長交⊙O于點I,連接IC后利用圓周角定理可求得IC和AI的長度,設QH=x,利用勾股定理可求出QH和HD的長度,利用垂徑定理可求得ED的長度,最后利用tan∠OED= 即可求得RG的長度,最后由垂徑定理可求得BF的長度.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在平面直角坐標系中,過點A(﹣ ,0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點,且B、C兩點的縱坐標分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根
(1)求線段BC的長度;
(2)試問:直線AC與直線AB是否垂直?請說明理由;
(3)若點D在直線AC上,且DB=DC,求點D的坐標;
(4)在(3)的條件下,直線BD上是否存在點P,使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出P點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】點(2,﹣4)在反比例函數y= 的圖象上,則下列各點在此函數圖象上的是( )
A.(2,4)
B.(﹣1,﹣8)
C.(﹣2,﹣4)
D.(4,﹣2)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】某工廠現有甲種原料360千克,乙種原料290千克,計劃利用這兩種原料生產A、B兩種產品共50件.已知生產一件A種產品需用甲種原料9千克、乙種原料3千克,可獲利潤700元;生產一件B種產品需用甲種原料4千克、乙種原料10千克,可獲利潤1200元。設生產A種產品的生產件數為x, A、B兩種產品所獲總利潤為y (元)
(1)試寫出y與x之間的函數關系式;
(2)求出自變量x的取值范圍;
(3)利用函數的性質說明哪種生產方案獲總利潤最大?最大利潤是多少?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】閱讀材料:小明在學習二次根式后,發(fā)現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如3+=(1+)2.善于思考的小明進行了以下探索:
設a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均為整數),則有a+b=m2+2n2+2mn.
∴a=m2+2n2,b=2mn.這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法.
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:
(1)當a、b、m、n均為正整數時,若a+b=(m+n)2,用含m、n的式子分別表示a、b,得:a= ,b= ;
(2)利用探索的結論,找一組正整數a、b、m、n (a、b都不超過20)
填空: + =( + )2;
(3)若a+6=(m+n)2,且a、m、n均為正整數,求a的值?
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線經過A(﹣1,0),B(5,0),C(0,- )三點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在拋物線的對稱軸上有一點P,使PA+PC的值最小,求點P的坐標;
(3)點M為x軸上一動點,在拋物線上是否存在一點N,使以A,C,M,N四點構成的四邊形為平行四邊形?若存在,求點N的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,三角形AOB是由三角形A1O1B1平移后得到的,已知點A的坐標為(2,-2),點B的坐標為(-4,2),若點A1的坐標為(3,-1).
求:(1)O1,B1的坐標.
(2)三角形AOB的面積.
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