Question

【題目】如圖，拋物線經(jīng)過A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），

∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三點(diǎn)在拋物線上，

∴ ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣2x﹣ ；

（2）

解：∵拋物線的解析式為：y= x2﹣2x﹣ ，

∴其對稱軸為直線x=﹣ =﹣ =2，

連接BC，如圖1所示，

∵B（5，0），C（0，﹣ ），

∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∴ ，

解得 ，

∴直線BC的解析式為y= x﹣ ，

當(dāng)x=2時，y=1﹣ =﹣ ，

∴P（2，﹣ ）；

（3）

解：存在．

如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時，

∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，﹣ ），

∴N1（4，﹣ ）；

②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時，

如圖，過點(diǎn)N2作N2D⊥x軸于點(diǎn)D，

在△AN2D與△M2CO中，

∴△AN2D≌△M2CO（ASA），

∴N2D=OC= ，即N2點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 ．

∴ x2﹣2x﹣ = ，

解得x=2+ 或x=2﹣ ，

∴N2（2+ ， ），N3（2﹣ ， ）．

綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，﹣ ），（2+ ， ）或（2﹣ ， ）．

【解析】本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（3）時要注意進(jìn)行分類討論．（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，- ）三點(diǎn)代入求出a、b、c的值即可；（2）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3）分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了確定一次函數(shù)的表達(dá)式和平行四邊形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)=kx+b（k不等于0）中的常數(shù)k和b．解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法；若一直線過平行四邊形兩對角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點(diǎn)為中點(diǎn)，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積才能正確解答此題．