Question

【題目】如圖，∠AOB = 30°，點(diǎn)P是∠AOB內(nèi)任意一點(diǎn)，且OP = 7，點(diǎn)E和點(diǎn)F分別是射線(xiàn)OA和射線(xiàn)OB上的動(dòng)點(diǎn)，則△PEF周長(zhǎng)的最小值是______.

Answer 1

【答案】7

【解析】

設(shè)點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，當(dāng)點(diǎn)E、F在CD上時(shí)，△PEF的周長(zhǎng)最小．

分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)C、D，連接CD，分別交OA、OB于點(diǎn)E、F，連接OP、OC、OD、PE、PF．

∵點(diǎn)P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C，關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，

∴PE＝CE，OP＝OC，∠COA＝∠POA；

∵點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為D，

∴PF＝DF，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，

∴OC＝OD＝OP＝7，∠COD＝∠COA＋∠POA＋∠POB＋∠DOB＝2∠POA＋2∠POB＝2∠AOB＝60°，

∴△COD是等邊三角形，

∴CD＝OC＝OD＝7．

∴△PEF的周長(zhǎng)的最小值＝PE＋EF＋PF＝CE＋EF＋DF≥CD＝7．

故答案為7.