Question

（2012•昌平區(qū)一模）問題探究：
（1）如圖1，在邊長為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=90°的一個點(diǎn)P，保留作圖痕跡；
（2）如圖2，在邊長為3的正方形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=60°的所有的點(diǎn)P，保留作圖痕跡并簡要說明作法；
（3）如圖3，已知矩形ABCD，AB=3，BC=4，在矩形ABCD內(nèi)（含邊）畫出使∠BPC=60°，且使△BPC的面積最大的所有點(diǎn)P，保留作圖痕跡．

Answer 1

分析：（1）正方形對角線的交點(diǎn)符合點(diǎn)P的要求，作對角線即可；
（2）①以BC為邊在正方形內(nèi)作等邊△BCQ；
②作△BCQ的外接圓⊙O，分別與AB、DC交于點(diǎn)M、N，由于在⊙O中，弦BC所對

BQC

的圓周角均為60°，所

MN

上的所有點(diǎn)均為所求的點(diǎn)P．
（3）以BC為邊作等邊△BCQ；作等邊△QBC的外接圓⊙O與AD交于點(diǎn) P₁、P₂，點(diǎn)P₁、P₂即為所求．

解答：解：（1）如圖1，畫出對角線AC與BD的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．               
注：以BC為直徑作上半圓（不含點(diǎn)B、C），則該半圓上的任意一點(diǎn)即可．

（2）如圖2，以BC為一邊作等邊△QBC，作△QBC的外接圓⊙O分別與AB，DC交于點(diǎn) M、N，弧MN即為點(diǎn)P的集合．     

（3）如圖3，以BC為一邊作等邊△QBC，
作△QBC的外接圓⊙O與AD交于點(diǎn) P₁、P₂，點(diǎn)P₁、P₂即為所求．

點(diǎn)評：此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計(jì)與作圖，綜合利用正方形的性質(zhì)和同圓中同弧所對的圓周角相等得知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．