Question

【題目】如圖，觀察每個(gè)正多邊形中的變化情況，解答下列問題：

（1）將下面的表格補(bǔ)充完整：

正多邊形的邊數(shù)	3	4	5	6	…	15
的度數(shù)					…

（2）根據(jù)規(guī)律，是否存在一個(gè)正邊形，使其中？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由；

（3）根據(jù)規(guī)律，是否存在一個(gè)正邊形，使其中？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）60°，45°，36°，30°，12°；（2）存在，n=18；（3）不存在，理由見解析．

【解析】

（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式求出每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)三角形內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求解即可；

（2）根據(jù)表中的結(jié)果得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出方程，求出方程的解即可；

（3）根據(jù)表中的結(jié)果得出規(guī)律，根據(jù)規(guī)律得出方程，求出方程的解即可．

解：（1）根據(jù)正多邊形的內(nèi)角和公式可知，正n邊形的內(nèi)角和=(n-2)×180°，故n邊形一個(gè)內(nèi)角度數(shù)=，

當(dāng)正多邊形有3條邊時(shí)，一個(gè)內(nèi)角度數(shù)==60°，則∠α==60°；

當(dāng)正多邊形有4條邊時(shí)，一個(gè)內(nèi)角度數(shù)==90°，則∠α==45°；

當(dāng)正多邊形有5條邊時(shí)，一個(gè)內(nèi)角度數(shù)==108°，則∠α==36°；

當(dāng)正多邊形有6條邊時(shí)，一個(gè)內(nèi)角度數(shù)==120°，則∠α==30°；

．．．

當(dāng)正多邊形有15條邊時(shí)，內(nèi)角度數(shù)==156°，則∠α==12°．

故答案為：60°，45°，36°，30°，12°；

（2）存在．

由（1）可知，，

設(shè)存在正多邊形使得，則，，

∴存在一個(gè)正多邊形使；

（3）不存在，理由如下：

設(shè)存在多邊形使得，則，（不是整數(shù)），

∴不存在一個(gè)多邊形使．