Question

【題目】如圖1，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)D，求m的值及點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點(diǎn)P坐標(biāo)（點(diǎn)P、O、D分別與點(diǎn)N、O、B對應(yīng)）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx（a≠0）經(jīng)過A（3，0）、B（4，4）

∴將A與B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得： ，

解得： ，

∴拋物線的解析式是y=x2﹣3x

（2）

解：設(shè)直線OB的解析式為y=k1x，由點(diǎn)B（4，4），

得：4=4k1，解得：k1=1

∴直線OB的解析式為y=x，

∴直線OB向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m，

∵點(diǎn)D在拋物線y=x2﹣3x上，

∴可設(shè)D（x，x2﹣3x），

又∵點(diǎn)D在直線y=x﹣m上，

∴x2﹣3x=x﹣m，即x2﹣4x+m=0，

∵拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)，

∴△=16﹣4m=0，

解得：m=4，

此時x1=x2=2，y=x2﹣3x=﹣2，

∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，﹣2）

（3）

解：∵直線OB的解析式為y=x，且A（3，0），

∴點(diǎn)A關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（0，3），

根據(jù)軸對稱性質(zhì)和三線合一性質(zhì)得出∠A′BO=∠ABO，

設(shè)直線A′B的解析式為y=k2x+3，過點(diǎn)（4，4），

∴4k2+3=4，解得：k2= ，

∴直線A′B的解析式是y= ，

∵∠NBO=∠ABO，∠A′BO=∠ABO，

∴BA′和BN重合，

即點(diǎn)N在直線A′B上，

∴設(shè)點(diǎn)N（n， ），又點(diǎn)N在拋物線y=x2﹣3x上，

∴ =n2﹣3n，

解得：n1=﹣ ，n2=4（不合題意，舍去）

∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣ ， ）．

方法一：

如圖1，將△NOB沿x軸翻折，得到△N1OB1，

則N1（- ，- ），B1（4，﹣4），

∴O、D、B1都在直線y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N1OB1，

∴△P1OD∽△N1OB1，

∴ ，

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（- ，- ）．

將△OP1D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點(diǎn)P2（ ， ），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（- ，- ）或（ ， ）．

方法二：

如圖2，將△NOB繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△N2OB2，

則N2（ ， ），B2（4，﹣4），

∴O、D、B1都在直線y=﹣x上．

∵△P1OD∽△NOB，△NOB≌△N2OB2，

∴△P1OD∽△N2OB2，

∴ ，

∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（ ， ）．

將△OP1D沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點(diǎn)P2（- ，- ），

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（- ，- ）或（ ， ）．

方法三：

∵直線OB：y=x是一三象限平分線，

∴A（3，0）關(guān)于直線OB的對稱點(diǎn)為A′（0，3），

∴ 得：x1=4（舍），x2=﹣ ，

∴N（﹣ ， ），

∵D（2，﹣2），∴l(xiāng)OD：y=﹣x，

∵lOD：y=x，

∴OD⊥OB，

∵△POD∽△NOB，

∴N（﹣ ， ）旋轉(zhuǎn)90°后N1（ ， ）或N關(guān)于x軸對稱點(diǎn)N2（﹣ ，﹣ ），

∵OB=4 ，OD=2 ，

∴ ，

∵P為ON1或ON2中點(diǎn)，

∴P1（ ， ），P2（- ，- ）．

【解析】（1）利用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)已知條件可求出OB的解析式為y=x，則向下平移m個單位長度后的解析式為：y=x﹣m．由于拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)，意味著聯(lián)立解析式后得到的一元二次方程，其根的判別式等于0，由此可求出m的值和D點(diǎn)坐標(biāo)；（3）綜合利用幾何變換和相似關(guān)系求解．方法一：翻折變換，將△NOB沿x軸翻折；方法二：旋轉(zhuǎn)變換，將△NOB繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°．特別注意求出P點(diǎn)坐標(biāo)之后，該點(diǎn)關(guān)于直線y=﹣x的對稱點(diǎn)也滿足題意，即滿足題意的P點(diǎn)有兩個，避免漏解．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解二次函數(shù)的圖象的相關(guān)知識，掌握二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)，以及對二次函數(shù)的性質(zhì)的理解，了解增減性：當(dāng)a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．