【題目】 如圖,AB為⊙O的直徑,C為⊙O上一點,AD和過C點的切線互相垂直,垂足為D,AD交⊙O于點E.
(1)求證:AC平分∠DAB;
(2)若∠B=60°,CD=2 ,求AE的長.

【答案】
(1)證明:如圖1,連接OC,

∵CD為⊙O的切線,

∴OC⊥CD,

∴∠OCD=90°,

∵AD⊥CD,

∴∠ADC=90°,

∴∠OCD+∠ADC=180°,

∴AD∥OC,

∴∠1=∠2,

∵OA=OC,

∴∠2=∠3,

∴∠1=∠3,

則AC平分∠DAB


(2)解:

法1:如圖2,連接OE,

∵AB是⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

又∵∠B=60°,

∴∠1=∠3=30°,

在Rt△ACD中,CD=2 ,∠1=30°,

∴AC=2CD=4 ,

在Rt△ABC中,AC=4 ,∠CAB=30°,

∴AB= = =8,

∵∠EAO=2∠3=60°,OA=OE,

∴△AOE是等邊三角形,

∴AE=OA= AB=4;

法2:如圖3,連接CE,

∵AB為⊙O的直徑,

∴∠ACB=90°,

又∠B=60°,

∴∠1=∠3=30°,

在Rt△ACD中,CD=2

∴AD= = =6,

∵四邊形ABCE是⊙O的內接四邊形,

∴∠B+∠AEC=180°,

又∵∠DEC=∠B=60°,

在Rt△CDE中,CD=2 ,

∴DE= = =2,

∴AE=AD﹣DE=4.


【解析】(1)連接OC,由CD為圓O的切線,根據(jù)切線的性質得到OC垂直于CD,由AD垂直于CD,可得出OC平行于AD,根據(jù)兩直線平行內錯角相等可得出∠1=∠2,再由OA=OC,利用等邊對等角得到∠2=∠3,等量代換可得出∠1=∠3,即AC為角平分線;(2)法1:由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角,在直角三角形ABC中,由∠B的度數(shù)求出∠3的度數(shù)為30°,可得出∠1的度數(shù)為30°,在直角三角形ACD中,根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半,由CD的長求出AC的長,在直角三角形ABC中,根據(jù)cos30°及AC的長,利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長,進而得出半徑OE的長,由∠EAO為60°,及OE=OA,得到三角形AEO為等邊三角形,可得出AE=OA=OE,即可確定出AE的長;法2:連接EC,由AB為圓O的直徑,根據(jù)直徑所對的圓周角為直角可得出∠ACB為直角,在直角三角形ABC中,由∠B的度數(shù)求出∠3的度數(shù)為30°,可得出∠1的度數(shù)為30°,在直角三角形ADC中,由CD及tan30°,利用銳角三角函數(shù)定義求出AD的長,由∠DEC為圓內接四邊形ABCE的外角,利用圓內接四邊形的外角等于它的內對角,得到∠DEC=∠B,由∠B的度數(shù)求出∠DEC的度數(shù)為60°,在直角三角形DEC中,由tan60°及DC的長,求出DE的長,最后由AD﹣ED即可求出AE的長.
【考點精析】通過靈活運用圓周角定理和切線的性質定理,掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半;切線的性質:1、經(jīng)過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑即可以解答此題.

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第一列

第二列

第三列

第四列

第五列

第一行

1

4

5

16

17

第二行

2

3

6

15

第三行

9

8

7

14

第四行

10

11

12

13

第五行

……

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2)試求∠BOE的度數(shù);

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