【題目】如圖,已知Rt△MBN的兩條直角邊與正方形ABCD的兩鄰邊重合,∠M=30°,O為AB中點,NO平分∠BNM,EO平分∠AEN.
(1)求證:△MON為等腰三角形;
(2)求證:EN=AE+BN.
【答案】(1)見解析;(2)見解析.
【解析】
(1) 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)和等角對等邊證得站論.
(2)延長EO交CB的延長線于點P,構(gòu)造全等三角形; △AOE≌△BOP,結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)進行解答.
(1)證明:∵∠B=90°,∠M=30°,
∴∠BNM=60°,
∵NO平分∠BNM,
∴∠ONM=∠BNM=30°,
∴∠ONM=∠M,
∴OM=ON,
∴MON為等腰三角形;
(2)證明:如圖,延長EO交CB延長線于點P.
依題意得:∠BAE=∠ABP=90°.
∵O為AB中點,
∴OA=OB,
在△AOE和△BOP中,
,
∴△AOE≌△BOP(ASA),
∴AE=BP,OE=OP.
又NO平分∠BNM,
∴ON⊥EP,
∴EN=PN,
∴EN=PN=BP+BN=AE+BN,
∴EN=AE+BN.
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【題目】已知⊙O為△ABC的外接圓,點E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長線交BC于點F,交⊙O于點D
(1)如圖1,求證:BD=ED;
(2)如圖2,AD為⊙O的直徑.若BC=6,sin∠BAC= ,求OE的長.
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【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,F(xiàn)是 上一點,且 = ,連接CF并延長交AD的延長線于點E,連接AC.若∠ABC=110°,∠BAC=20°,則∠E的度數(shù)為( )
A.60°
B.55°
C.50°
D.45°
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【題目】如圖,已知直線AB∥DF,∠D+∠B=180°,
(1)求證:DE∥BC;
(2)如果∠AMD=75°,求∠AGC的度數(shù).
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【題目】看圖填空,并在括號內(nèi)注明說理依據(jù).
如圖,已知,,,,與平行嗎?與平行嗎?
解:因為,(已知),
所以.
所以 ( ).
又因為 (已知),
所以.( )
所以.
同理可得, .
所以( ).
所以 (同位角相等,兩直線平行).
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【題目】如圖,在ABCD中,E,F分別為邊AB,CD的中點,連接DE、BF、BD.
(1)求證:△ADE≌△CBF.
(2)若AD⊥BD,則四邊形BFDE是什么特殊四邊形?請證明你的結(jié)論.
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【題目】一只螞蟻在一個半圓形的花壇的周邊尋找食物,如圖1,螞蟻從圓心出發(fā),按圖中箭頭所示的方向,依次勻速爬完下列三條線路:(1)線段、(2)半圓弧、(3)線段后,回到出發(fā)點.螞蟻離出發(fā)點的距離(螞蟻所在位置與點之間線段的長度)與時間之間的圖象如圖2所示,問:(注:圓周率的值取3)
(1)請直接寫出:花壇的半徑是 米, .
(2)當時,求與之間的關(guān)系式;
(3)若沿途只有一處有食物,螞蟻在尋找到食物后停下來吃了2分鐘,并知螞蟻在吃食物的前后,始終保持爬行且爬行速度不變,請你求出:
①螞蟻停下來吃食物的地方,離出發(fā)點的距離.
②螞蟻返回所用時間.
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【題目】如圖1,四邊形ABCD是正方形,G是CD邊上的一個動點(點G與C、D不重合),以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG,連接BG,DE.我們探究下列圖中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系.
(1)猜想圖1中線段BG、線段DE的長度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系;
(2)將圖1中的正方形CEFG繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度a,得到如圖2、如圖3情形.請你通過觀察、測量等方法判斷(1)中得到的結(jié)論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷.
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【題目】如圖,點E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長線交BC于點F,交△ABC的外接圓⊙O于點D,連接BD,過點D作直線DM,使∠BDM=∠DAC. (Ⅰ)求證:直線DM是⊙O的切線;
(Ⅱ)求證:DE2=DFDA.
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