【題目】如圖,點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,AE的延長線交BC于點(diǎn)F,交△ABC的外接圓⊙O于點(diǎn)D,連接BD,過點(diǎn)D作直線DM,使∠BDM=∠DAC. (Ⅰ)求證:直線DM是⊙O的切線;
(Ⅱ)求證:DE2=DFDA.
【答案】解:(Ⅰ)如圖所示,連接OD, ∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,
∴∠BAD=∠CAD,
∴ = ,
∴OD⊥BC,
又∵∠BDM=∠DAC,∠DAC=∠DBC,
∴∠BDM=∠DBC,
∴BC∥DM,
∴OD⊥DM,
∴直線DM是⊙O的切線;
(Ⅱ)如圖所示,連接BE,
∵點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心,
∴∠BAE=∠CAE=∠CBD,∠ABE=∠CBE,
∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE,
即∠BED=∠EBD,
∴DB=DE,
∵∠DBF=∠DAB,∠BDF=∠ADB,
∴△DBF∽△DAB,
∴ = ,即DB2=DFDA,
∴DE2=DFDA.
【解析】(Ⅰ)根據(jù)垂徑定理的推論即可得到OD⊥BC,再根據(jù)∠BDM=∠DBC,即可判定BC∥DM,進(jìn)而得到OD⊥DM,據(jù)此可得直線DM是⊙O的切線; (Ⅱ)根據(jù)三角形內(nèi)心的定義以及圓周角定理,得到∠BED=∠EBD,即可得出DB=DE,再判定△DBF∽△DAB,即可得到DB2=DFDA,據(jù)此可得DE2=DFDA.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了垂徑定理和圓周角定理的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握垂徑定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條;頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角;頂點(diǎn)在圓周上,且它的兩邊分別與圓有另一個交點(diǎn)的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半才能正確解答此題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一只跳蚤在第一象限及x軸、y軸上跳動,第一秒它從原點(diǎn)跳動到點(diǎn)(0,1),第二秒它從點(diǎn)(0,1)跳到點(diǎn)(1,1),然后接著按圖中箭頭所示方向跳動[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],每秒跳動一個單位長度,那么30秒后跳蚤所在位置的坐標(biāo)是___.
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【題目】(11·西寧)(本小題滿分7分)給出三個整式a2,b2和2ab.
(1)當(dāng)a=3,b=4時,求a2+b2+2ab的值;
(2)在上面的三個整式中任意選擇兩個整式進(jìn)行加法或減法運(yùn)算,使所得的多項(xiàng)式能夠因式分解.請寫也你所選的式子及因式分解的過程.
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【題目】如圖,工程隊(duì)鋪設(shè)一公路,他們從點(diǎn)A處鋪設(shè)到點(diǎn)B處時,由于水塘擋路,他們決定改變方向經(jīng)過點(diǎn)C,再拐到點(diǎn)D,然后沿著與AB平行的DE方向繼續(xù)鋪設(shè),如果∠ABC=120°,∠CDE=140°,則∠BCD的度數(shù)是________.
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【題目】AB∥CD,OE平分∠BOC,OF⊥OE,OP⊥CD,∠ABO=a°.則下列結(jié)論: ①∠BOE=(180﹣a)°;②OF平分∠BOD;③∠POE=∠BOF;④∠POB=2∠DOF.其中正確結(jié)論__________(填編號).
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【題目】如圖,剪兩張對邊平行的紙條,隨意交叉疊放在一起,轉(zhuǎn)動其中的一張,重合的部分構(gòu)成了一個四邊形,這個四邊形是 .
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【題目】已知∠BOC=60°,OF平分∠BOC.若AO⊥BO,OE平分∠AOC,則∠EOF的度數(shù)是( )
A. 45°
B. 15°
C. 30°或60°
D. 45°或15°
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【題目】如圖,已知等腰直角△ABC,點(diǎn)P是斜邊BC上一點(diǎn)(不與B,C重合),PE是△ABP的外接圓⊙O的直徑
(1)求證:△APE是等腰直角三角形;
(2)若⊙O的直徑為2,求 的值
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