Question

【題目】已知⊙O為△ABC的外接圓，點(diǎn)E是△ABC的內(nèi)心，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)D
（1）如圖1，求證：BD=ED；
（2）如圖2，AD為⊙O的直徑．若BC=6，sin∠BAC= ，求OE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接BE．

∵是△ABC的內(nèi)心，

∴∠ABE=∠CBE，∠BAD=∠CAD．

∵∠DBC=∠CAD．

∴∠DBC=∠BAD．

∵∠BED=∠BAD+∠ABE，

∴∠DBE=∠DEB．

∴BD=ED．

（2）解：如圖2所示；連接OB．

∵AD是直徑，A平分∠BAC，

∴AD⊥BC，且BD=FC=3．

∵∠BAC=∠BOD，sin∠BAC= ，BF=3，

∴OB=5．

∵在Rt△BOF中，BF=3，OB=5，

∴OF= =4．

∴DF=1．

在Rt△BDF中，BF2+DF2=BD2．

∴BD= ．

∴DE= ．

使用OE=5﹣ ．

【解析】（1）連接BE．依據(jù)三角形的內(nèi)心的性質(zhì)以及圓周角定理證明∠DBE=∠DEB即可；（2）連接OB．先證明圓周角定理和三角形的內(nèi)心的性質(zhì)可知∠BAC=∠BOF，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得OB的長(zhǎng)，然后依據(jù)勾股定理可求得OF的長(zhǎng)于是得到DF的長(zhǎng)，接下來，在△BDF中，由勾股定理可求得BD的長(zhǎng)，依據(jù)問題（1）的結(jié)論可得到DE的長(zhǎng)，從而求得OE的長(zhǎng)．