Question

【題目】如圖，點P是等邊三角形ABC內(nèi)部一個動點，∠APB=120°，⊙O是△APB的外接圓．AP，BP的延長線分別交BC，AC于D，E．
（1）求證：CA，CB是⊙O的切線；
（2）已知AB=6，G在BC上，BG=2，當(dāng)PG取得最小值時，求PG的長及∠BGP的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA，OB，在⊙O上取一點M，連接AM，BM，

∴四邊形APBM是圓內(nèi)接四邊形，

∴∠M=180°﹣∠APB=60°，

∵∠AOB=2∠M=120°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠OBC=90°，

∴CB是⊙O的切線；

同理CA是⊙O的切線

（2）作ON⊥AB于N，連接OG，

當(dāng)O，P，G在一條直線上時，PG最小，

∵AB=6，

∴BN=3，

∴OB=2 ，

∵∠OBG=90°，BG=2，tan∠OGB= ，

∴∠OGB=60°，OG=4，

∴PG=4﹣2 ，

此時，∠BGP=60°．

【解析】（1）連接OA，OB，在⊙O上取一點M，連接AM，BM，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到∠M=180°﹣∠APB=60°，根據(jù)圓周角定理得到∠AOB=2∠M=120°，求得∠BAC=60°，于是得到結(jié)論；（2）作ON⊥AB于N，連接OG，當(dāng)O，P，G在一條直線上時，PG最小，解直角三角形即可得到結(jié)論．
【考點精析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和三角形的外接圓與外心的相關(guān)知識點，需要掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°；過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心才能正確解答此題．