Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系中，A，B兩點在x軸上，線段OA，OB的長分別為方程x2-8x+12=0的兩個根（OB＞OA），點C是y軸上一點，其坐標為（0，-3）．

（1）求A，B兩點的坐標；

（2）求經過A，B，C三點的拋物線的關系式；

（3）D是點C關于該拋物線對稱軸的對稱點，E是該拋物線的頂點，M，N分別是y軸、x軸上的兩個動點．

①當△CEM是等腰三角形時，請直接寫出此時點M的坐標；

②以D、E、M、N位頂點的四邊形的周長是否有最小值？若有，請求出最小值，并直接寫出此時點M，N的坐標；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）A（-2，0），B（6，0）（2）y=x2-x-3．(3)，M（0，-），N（，0）．

【解析】

試題分析：（1）利用分解因式法解方程x2-8x+12=0即可得出x的值，再根據OB＞OA即可得出點A、B的坐標；

（2）根據拋物線過x軸上的兩點AB，可設拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-6）（a≠0），再由點C的坐標利用待定系數(shù)法即可求出經過A，B，C三點的拋物線的關系式；

（3）①設點M的坐標為（0，m），根據拋物線的關系式即可得出點E的坐標，由兩點間的距離公式可求出線段CE、CM、ME的長度，再根據等腰三角形的性質分三種情況考慮，由邊相等得出關于m的方程，解方程即可得出m值，從而得出點M的坐標；

②作點E關于y軸對稱的點E′，作點D關于x軸對稱的點D′，連接D′E′交x軸于點N，交y軸于點M，此時以D、E、M、N位頂點的四邊形的周長最�。�根據點C的坐標可得出點D的坐標，根據對稱的性質即可得出點D′、E′的坐標，由此即可求出四邊形周長的最小值，再根據點D′、E′的坐標，利用待定系數(shù)法即可求出直線D′E′的解析式，由此即可得出點M、N的坐標．

試題解析：（1）∵x2-8x+12=0，

∴（x-2）（x-6）=0，

解得：x1=2，x2=6，

∵OB＞OA，

∴OA=2，OB=6，

∴點A的坐標為（-2，0），點B的坐標為（6，0）．

（2）設拋物線的解析式為：y=a（x+2）（x-6）（a≠0），

將C（0，-3）代入得：-3=-12a，

解得：a=，

∴經過A，B，C三點的拋物線的關系式為：y=（x+2）（x-6）=x2-x-3．

（3）①依據題意畫出圖形，如圖1所示．

設點M的坐標為（0，m），

∵拋物線的關系式為y=x2-x-3=（x-2）2-4，

∴點E（2，-4），

∴CE=，CM=|m+3|，ME=．

△CEM是等腰三角形分三種情況：

當CE=CM時，有=|m+3|，

解得：m=-3或m=--3，

此時點M的坐標為（0，-3）或（0，--3）；

當CE=ME時，有=，

解得：m=-3（舍去）或m=-5，

此時點M的坐標為（0，-5）；

當CM=ME時，有|m+3|=，

解得：m=-，

此時點M的坐標為（0，-）．

綜上可知：當△CEM是等腰三角形時，點M的坐標為（0，-3）、（0，--3）、（0，-5）或（0，-）．

②四邊形DEMN有最小值．

作點E關于y軸對稱的點E′，作點D關于x軸對稱的點D′，連接D′E′交x軸于點N，交y軸于點M，此時以D、E、M、N位頂點的四邊形的周長最小，如圖2所示．

∵點C（0，-3），點E（2，-4），

∴點D（4，-3），DE=．

∵E、E′關于y軸對稱，D、D′關于x軸對稱，

∴EM=E′M，DN=D′N，點E′（-2，-4），點D′（4，3），

∴EM+MN+DN=D′E′=，

∴C四邊形DEMN=DE+EM+MN+DN=．

設直線D′E′的解析式為y=kx+b，

則有，解得：，

∴直線D′E′的解析式為y=x-．

令y=x-中x=0，則y=-，

∴點M（0，-）；

令y=x-中y=0，則x-=0，解得：x=，

∴點N（，0）．

故以D、E、M、N位頂點的四邊形的周長有最小值，最小值為，此時點M的坐標為（0，-），點N的坐標為（，0）．