Question

【題目】如圖，矩形ABCO中，點(diǎn)C在x軸上，點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（一6，8）．矩形ABCO沿直線BD折疊，使得點(diǎn)A落在對(duì)角線OB上的點(diǎn)E處，折痕與OA、x軸分別交于點(diǎn)D、F．

(1)直接寫出線段BO的長(zhǎng)：

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)若點(diǎn)N是平面內(nèi)任一點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)M，使咀M、N、E、O為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）BO=10；（2）D（0,5）；（3）存在，, M(4,0)，（-4,0）（，0）（，0）.

【解析】

（1）由矩形的性質(zhì)及勾股定理即可求出BO的長(zhǎng)；（2）由折疊的性質(zhì)可得BE=AB=6，DE=AD,故OE=BO-BE=4，∠OED=90°，設(shè)D（0,a）則OD=a，DE=AD=OA-OD=8-a，在Rt△EOD中，由勾股定理得到方程即可求出a的值；（3）分①OM,OE都為邊；②OM為邊OE為對(duì)角線；③OM為對(duì)角線，OE為邊；3種情況進(jìn)行討論，分別求出M的坐標(biāo).

解：(1)∵四邊形ABCO是矩形，點(diǎn)B坐標(biāo)為（-6,8）

∴BO==10

(2)∵矩形ABCO中點(diǎn)B的坐標(biāo)是（-6,8）

∴AB=6，OA=8.

BE=AB=6，OE=10-6=4

設(shè)D(0，a)，則OD=a,AD=ED=8-a

在RtΔEOD中，

解得：a=5.

∴D（0,5）

(3)存在，

①OM,OE都為邊時(shí)，OM=OE=4，

∴M的坐標(biāo)為(4,0)，（-4,0）

②OM為邊OE為對(duì)角線時(shí)，MN垂直平分OE，垂足為G，如圖1

則OG=OE=2

則cos∠MOG=cos∠BOC

∴即

解得OM=

∴M（，0）

③OM為對(duì)角線，OE為邊，如圖2

同②得M（，0）

∴M(4,0)，（-4,0）（，0）（，0）.