【題目】如圖,在鈍角△ABC中,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),分別以AB和AC為斜邊向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形ABE和等腰直角三角形ACF,M、N分別為AB、AC的中點(diǎn),連接DM、DN、DE、DF、EM、EF、FN.求證:

(1)△EMD≌△DNF;

(2)△EMD∽△EAF;

(3)DE⊥DF.

【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;(3)證明見解析

【解析】

試題分析:(1)首先根據(jù)D是BC中點(diǎn),N是AC中點(diǎn)N,可得DN是△ABC的中位線,判斷出DN=AC;然后判斷出EM=AB,再通過證明四邊形AMDN是平行四邊形,可得∠AMD=∠AND,進(jìn)而可證明∠EMD=∠DNF,由全等三角形的判定方法即可證明△EMD≌△DNF;

(2)首先計(jì)算出EM:EA的值,DM和AF的數(shù)量關(guān)系以及證明∠EMD=∠EAF,再根據(jù)相似三角形判定的方法,判斷出△EMD∽△∠EAF;

(3)由(2)可知△EMD∽△EAF,即可判斷出∠MED=∠AEF,然后根據(jù)∠MED+∠AED=45°,判斷出∠DEF=45°,再根據(jù)DE=DF,判斷出∠DFE=45°,∠EDF=90°,即可判斷出DE⊥DF.

試題解析:(1)∵D是BC中點(diǎn),M是AB中點(diǎn),N是AC中點(diǎn),∴DM、DN都是△ABC的中位線,∴DM∥AC,且DM=AC;DN∥AB,且DN=AB;

∵△ABE是等腰直角三角形,M是AB的中點(diǎn),∴EM平分∠AEB,EM=AB,∴EM=DN,同理:DM=FN,∵DM∥AC,DN∥AB,∴四邊形AMDN是平行四邊形,∴∠AMD=∠AND,又∵∠EMA=∠FNA=90°,∴∠EMD=∠DNF,在△EMD和△DNF中,EM=DN,EMD=DNF,MD=NF,∴△EMD≌△DNF;

(2)∵三角形ABE是等腰直角三角形,M是AB的中點(diǎn),∴EM平分∠AEB,EM⊥AB,∴EM=MA,∠EMA=90°,∠AEM=∠EAM=45°,∴=sin45°=,∵D是BC中點(diǎn),M是AB中點(diǎn),∴DM是△ABC的中位線,∴DM∥AC,且DM=AC;

∵△ACF是等腰直角三角形,N是AC的中點(diǎn),∴FN=AC,∠FNA=90°,∠FAN=∠AFN=45°,又∵DM=AC,∴DM=FN=FA,∵∠EMD=∠EMA+∠AMD=90°+∠AMD,∠EAF=360°﹣∠EAM﹣∠FAN﹣∠BAC=360°﹣45°﹣45°﹣(180°﹣∠AMD)=90°+∠AMD,∴∠EMD=∠EAF,在△EMD和△∠EAF中,,EMD=EAF,∴△EMD∽△∠EAF;

(3)∵△EMD∽△∠EAF,∴∠MED=∠AEF,∵∠MED+∠AED=45°,∴∠AED+∠AEF=45°,即∠DEF=45°,又∵△EMD≌△DNF,∴DE=DF,∴∠DFE=45°,∴∠EDF=180°﹣45°﹣45°=90°,∴DE⊥DF.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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