【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A(﹣1,0)、B(3,0)兩點,與y軸交于點C,連接BC.
(1)求拋物線的解析式;
(2)若點P為線段BC上的一動點(不與B、C重合),PM∥y軸,且PM交拋物線于點M,交x軸于點N,當△BCM的面積最大時,求點P的坐標;
(3)在(2)的條件下,當△BCM的面積最大時,點D是拋物線的對稱軸上的動點,在拋物線上是否存在點E,使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形?若存在,請直接寫出點E的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3.(2)當t=時,△BCM的面積最大.此時,點P的坐標為(,).(3)存在點E使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形,點E的坐標是或()或().
【解析】
(1)由y=ax2+bx+3經(jīng)過點A、B、C,A(﹣1,0)、B(3,0),利用待定系數(shù)法即可求得此拋物線的解析式;
(2)設直線BC的解析式為y=kx+b,由待定系數(shù)法即可求得直線BC的解析式,再設P(t,﹣t+3),即可得M點坐標為(t,﹣t2+2t+3),即可求得PM的長,由S△BCM=S△PMC+S△PMB,即可得S△BMC=﹣(t﹣)2+,利用二次函數(shù)的性質(zhì),即可求得當△BDC的面積最大時,求點P的坐標;
(3)由于此題沒有說明四邊形的頂點順序故需分類討論:①當四邊形APDE為平行四邊形時,利用xA﹣xP=xE﹣xD即可求出xE的值,代入二次函數(shù)解析式即可;②當四邊形APED為平行四邊形時,同理;③當四邊形ADPE為平行四邊形時,此時xA+xP=xD+xE即可求出xE的值,代入二次函數(shù)解析式即可.
解:(1)依題意得:,
解得:,
拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3.
(2)設直線BC的解析式為y=kx+b,則,
解得:,直線BC的解析式為y=﹣x+3,
設點P坐標為(t,﹣t+3),則M點坐標為(t,﹣t2+2t+3),
∴PM=﹣t2+2t+3+t﹣3=﹣t2+3t,
∴S△BCM=S△PMC+S△PMB==,
∴當t=時,△BCM的面積最大.此時,點P的坐標為(,).
(3))∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,
∴對稱軸為直線x=1,
當四邊形APDE為平行四邊形時,
AP∥ED,AP=ED,
∵A(﹣1,0),P(),
∴xA﹣xP=xE﹣xD=﹣1﹣,
∵xD=1,
∴xE=﹣,
∴E(,);
當四邊形APED為平行四邊形時,
AP∥DE,AP=DE,
∴xA﹣xP=xD﹣xE=﹣1﹣,
∵xD=1,
∴xE=,
∴E(,﹣);
當四邊形ADPE為平行四邊形時,
AE∥DP,AE=DP,
∴xA+xP=xD+xE=﹣1+,
∵xD=1,
∴xE=﹣,
∴E(﹣,);
存在點E使得以A、P、D、E為頂點的四邊形為平行四邊形,點E的坐標是(,)或(,﹣)或(﹣,).
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【題目】一商店銷售某種商品,平均每天可售出20件,每件盈利40元.為了擴大銷售,增加盈利,該店采取了降價措施.在每件盈利不少于25元的前提下,經(jīng)過一段時間銷售,發(fā)現(xiàn)銷售單價每降低1元,平均每天可多售出2件.
(1)若降價元,則平均每天銷售數(shù)量為___________件(用含的代數(shù)式表示);
(2)當每件商品降價多少元時,該商店每天銷售利潤為1050元?
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【題目】如圖,在中,,,直角的頂點在上,、分別交、于點、,繞點任意旋轉(zhuǎn).當時,的值為________;當時,為________.(用含的式子表示)
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【題目】某公司有型產(chǎn)品件,型產(chǎn)品件,分配給下屬甲、乙兩個商店銷售,其中件給甲店,件給乙店,且都能賣完,兩商店銷售這兩種產(chǎn)品每件的利潤(元)如下表:
型利潤 | 型利潤 | |
甲店 | ||
乙店 |
(1)設分配給甲店型產(chǎn)品x件,則:
①分配給乙店的型產(chǎn)品_________件;
②分配給乙店的型產(chǎn)品_________件.
(2)這家公司賣出這件產(chǎn)品的總利潤為(元),求關于的函數(shù)關系式,并求出的取值范圍;
(3)若公司要求總利潤不低于元,說明有多少種不同分配方案,并將各種方案設計出來.
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【題目】為滿足市場需求,某超市在五月初五“端午節(jié)”來臨前夕,購進一種品牌粽子,每盒進價是40元.超市規(guī)定每盒售價不得少于45元.根據(jù)以往銷售經(jīng)驗發(fā)現(xiàn);當售價定為每盒45元時,每天可以賣出700盒,每盒售價每提高1元,每天要少賣出20盒.
(1)試求出每天的銷售量y(盒)與每盒售價x(元)之間的函數(shù)關系式;
(2)當每盒售價定為多少元時,每天銷售的利潤P(元)最大?最大利潤是多少?
(3)為穩(wěn)定物價,有關管理部門限定:這種粽子的每盒售價不得高于58元.如果超市想要每天獲得不低于6000元的利潤,那么超市每天至少銷售粽子多少盒?
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【題目】在菱形ABCD中,∠A=110°,E、F分別是邊AB和BC的中點,EP⊥CD,垂足為P,則∠EPF=
A.35°B.45°C.50°D.55°
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【題目】在直角坐標平面內(nèi),為原點,點的坐標為,點的坐標為,直線軸(如圖所示).點與點關于原點對稱,直線(為常數(shù))經(jīng)過點,且與直線相交于點,聯(lián)結(jié).
(1)求的值和點的坐標;
(2)設點在軸的正半軸上,若是等腰三角形,求點的坐標;
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【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.阜陽市某家快遞公司,2017年3月份與5月份完成投遞的快遞總件數(shù)分別為10萬件和12.1萬件.現(xiàn)假定該公司每月投遞的快遞總件數(shù)的增長率相同.
(1)求該快遞公司投遞快遞總件數(shù)的月平均增長率?
(2) 如果平均每人每月最多可投遞快遞0.6萬件,那么該公司現(xiàn)有的21名快遞投遞業(yè)務員能否完成2017年6月份的快遞投遞任務?如果不能,請問至少需要增加幾名業(yè)務員?
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【題目】如圖,把拋物線y=x2平移得到拋物線m,拋物線m經(jīng)過點A(﹣6,0)和原點O(0,0),它的頂點為P,它的對稱軸與拋物線y=x2交于點Q,則圖中陰影部分的面積為 ▲ .
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