Question

【題目】如圖，在等腰中，，B是邊AD上一點，以AB為直徑的經過點P，C是上一動點，連接AC，PC，PC交AB于點E，且．

（1）求證：PD是的切線；

（2）連接OP，PB，BC，OC，若的直徑是4，則：

①當四邊形APBC是矩形時，求DE的長；

②當______時，四邊形OPBC是菱形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②3．

【解析】

（1）根據題意連接OP，運用等腰三角形的性質以及利用切線的定理即證明即可；

（2）①由題意可知PC是的直徑，由（1）知，在中，，利用含60°的直角三角形的性質進行分析求解；

②根據題意利用菱形的性質即對角線互相垂直平分，以此進行分析即可.

解：（1）證明：如圖1，連接OP.

∵，∴.

又∵，

∴.

∵，

∴，

∴.

又∵OP為半徑，∴PD是的切線.

（2）解：①如圖2，∵在矩形中，，

∴PC是的直徑，

∴點與點E重合.

由（1）知，在中，.

又∵，

∴.

②如圖3，∵四邊形是菱形，∴PC，OB互相垂直平分，∴，∴.

∵，，∴.

故答案為：3.