Question

【題目】已知：如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB叫AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：△ADE≌△FCE；

（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）4．

【解析】試題分析：（1）先根據(jù)點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根據(jù)AAS定理可得出△ADE≌△FCE；

（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得出AD=CD=AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性質(zhì)可得出∠DAC=∠ACD=∠BDC=30°，進(jìn)而可得出結(jié)論．

試題解析：（1）證明：∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE．

∵AB∥CF，∴∠BAF=∠AFC．

在△ADE與△FCE中，∵∠BAF=∠AFC，∠AED=∠FEC，DE=CE，∴△ADE≌△FCE（AAS）；

（2）解：由（1）得，CD=2DE，∵DE=2，∴CD=4．

∵點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∠ACB=90°，∴AB=2CD=8，AD=CD=AB．

∵AB∥CF，∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，∴∠DAC=∠ACD=∠BDC=×60°=30°，∴BC=AB=×8=4．