【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-1,0),B(1,0),C(0,1),點(diǎn)D為x軸正半軸上的一個(gè)動點(diǎn),點(diǎn)E為第一象限內(nèi)一點(diǎn),且CE⊥CD,CE=CD.
(1)試說明:∠EBC=∠CAB ;
(2)取DE的中點(diǎn)F,連接OF,試判斷OF與AC的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)在(2)的條件下,試探索O、D、F三點(diǎn)能否構(gòu)成等腰三角形,若能,請直接寫出所有符合條件的點(diǎn)D的坐標(biāo);若不能,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析;(2)OF∥AC;(3)D(1,0)或D(1+,0)
【解析】
(1)易證△AOC,△BOC均為等腰直角三角形,且∠ACD=∠ECB,從而得到
△ACD≌△BCE,由全等三角形對應(yīng)角相等即可得出結(jié)論;
(2)作FL⊥OC ,FK⊥OB,易證∠CFL=∠KFD,CF=DF=DE,得到△CFL≌△DFK,由全等三角形對應(yīng)邊相等得到FL=FK,由角平分線判定定理得到OF平分∠COB,從而得到∠COF=∠BOF=45°,即可得到OF∥AC.
(3)設(shè)D(x,0)(x>0).則OD=x,過E作EG⊥y軸于G,則△EGC≌△COD,得到E的坐標(biāo),由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到F的坐標(biāo),由兩點(diǎn)間距離公式得到OF,DF的長.然后分三種情況討論:①OD=OF,②OD=FD,③OF=FD.
(1)∵A(-1,0),B(1,0),C(0,1),∴AO=CO=BO=1.
∵CO⊥AB,∴AC=BC,△AOC,△BOC均為等腰直角三角形,∴∠CBO=∠BCO=∠ACO=∠CAO =45°,∠ACB=90°,即∠ACD+∠BCD =90°.
又∵CE⊥CD,∴∠ECB+∠BCD =90°,∴∠ACD=∠ECB.
在△ACD與△BCE中,∵,∴△ACD≌△BCE,∴∠EBC=∠CAB.
(2)OF∥AC.理由如下:
作FL⊥OC ,FK⊥OB,如圖,∵CO⊥BO,∴∠LFK =90°,
∵CE=CD,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),∴CF⊥DE,∴∠CFL+∠LFD =90°.
又∵∠KFD+∠LFD =90°,∴∠CFL=∠KFD.
∵CE⊥CD,點(diǎn)F是DE的中點(diǎn),∴CF=DF=DE.
在△CFL與△DFK中,∵,∴△CFL≌△DFK,∴FL=FK.
又∵FL⊥OC ,FK⊥OB,∴OF平分∠COB,∴∠COF=∠BOF=45°.
又∵∠CAO =45°,∠BOF=∠CAO,∴OF∥AC.
(3)設(shè)D(x,0)(x>0).則OD=x,過E作EG⊥y軸于G.
∵CE⊥CD,∴∠ECD=90°,∴∠GCE+∠DCO=90°.
∵∠GCE+∠GEC=90°,∴∠GEC=∠OCD.
∵∠EGC=∠COD=90°,CE=CD,∴△EGC≌△COD,∴GE=OC=1,CG=OD=x,∴E(1,x+1).
∵F為ED的中點(diǎn),∴F(,),∴OF==,DF==.
△ODF為等腰三角形,分三種情況討論:
①OD=OF,則x=,解得:x=,∴D(,0);
②OD=FD,則x=,解得:x=±1(負(fù)數(shù)舍去),∴x=1,∴D(1,0);
③OF=FD,則=,解得:x=0(舍去),∴此種情況不成立.
綜上所述:D(1,0)或D(,0).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是一副秋千架,左圖是從正面看,當(dāng)秋千繩子自然下垂時(shí),踏板離地面0.5m(踏板厚度忽略不計(jì)), 右圖是從側(cè)面看,當(dāng)秋千踏板蕩起至點(diǎn)B位置時(shí),點(diǎn)B離地面垂直高度BC為1m,離秋千支柱AD的水平距離BE為1.5m(不考慮支柱的直徑).求秋千支柱AD的高.
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【題目】已知:如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),點(diǎn)E是CD的中點(diǎn),過點(diǎn)C作CF∥AB叫AE的延長線于點(diǎn)F.
(1)求證:△ADE≌△FCE;
(2)若∠DCF=120°,DE=2,求BC的長.
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【題目】中學(xué)生上學(xué)帶手機(jī)的現(xiàn)象越來越受到社會的關(guān)注,為此媒體記者隨機(jī)調(diào)查了某校若干名學(xué)生上學(xué)帶手機(jī)的目的,分為四種類型:A接聽電話;B收發(fā)短信;C查閱資料;D游戲聊天.并將調(diào)查結(jié)果繪制成圖1和圖2的統(tǒng)計(jì)圖(不完整),請根據(jù)圖中提供的信息,解答下列問題:
(1)此次抽樣調(diào)查中,共調(diào)查了 名學(xué)生.
(2)將圖1、圖2補(bǔ)充完整;
(3)現(xiàn)有4名學(xué)生,其中A類兩名,B類兩名,從中任選2名學(xué)生,求這兩名學(xué)生為同一類型的概率(用列表法或樹狀圖法).
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【題目】在△ABC中,AB=13,AC=5,BC邊上的中線AD=6,點(diǎn)E在AD的延長線上,且AD=DE.
(1)試判斷△ABE的形狀并說明理由;
(2)求△ABC的面積.
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【題目】張華在一次數(shù)學(xué)活動中,利用“在面積一定的矩形中,正方形的周長最短”的結(jié)論,推導(dǎo)出“式子x+ (x>0)的最小值是2”.其推導(dǎo)方法如下:在面積是1的矩形中設(shè)矩形的一邊長為x,則另一邊長是 ,矩形的周長是2(x+ );當(dāng)矩形成為正方形時(shí),就有x= (x>0),解得x=1,這時(shí)矩形的周長2(x+ )=4最小,因此x+ (x>0)的最小值是2.模仿張華的推導(dǎo),你求得式子 (x>0)的最小值是( )
A.2
B.1
C.6
D.10
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【題目】學(xué)習(xí)成為現(xiàn)代人的時(shí)尚,某市有關(guān)部門統(tǒng)計(jì)了最近6個(gè)月到圖書館的讀者的職業(yè)分布情況,并做了下列兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖.
(1)在統(tǒng)計(jì)的這段時(shí)間內(nèi),共有萬人次到圖書館閱讀,其中商人占百分比為%;
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(3)若5月份到圖書館的讀者共28000人次,估計(jì)其中約有多少人次讀者是職工?
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【題目】二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,經(jīng)過點(diǎn)A(1, );點(diǎn)F(0,1)在y軸上.直線y=﹣1與y軸交于點(diǎn)H.
(1)求二次函數(shù)的解析式;
(2)點(diǎn)P是(1)中圖象上的點(diǎn),過點(diǎn)P作x軸的垂線與直線y=﹣1交于點(diǎn)M,求證:FM平分∠OFP;
(3)當(dāng)△FPM是等邊三角形時(shí),求P點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)與x軸交于A(﹣1,0),B(3,0),與y軸交于C(0,3),頂點(diǎn)為D(1,4),對稱軸為DE.
(1)拋物線的解析式是;
(2)如圖(2),點(diǎn)P是AD上一個(gè)動點(diǎn),P′是P關(guān)于DE的對稱點(diǎn),連接PE,過P′作P′F∥PE交x軸于F.設(shè)S四邊形EPP′F=y,EF=x,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并求y的最大值;
(3)在(1)中的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△BCQ成為以BC為直角邊的直角三角形?若存在,求出Q的坐標(biāo);若不存在.請說明理由.
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