Question

【題目】如圖，正方形的邊長(zhǎng)為分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，和交于點(diǎn)．

如圖(1)，若為邊的中點(diǎn)，， 求的長(zhǎng)；

如圖(2)，若點(diǎn)在上從向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在．上從向運(yùn)動(dòng)．兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)各自終點(diǎn)，求在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)：

如圖(3)， 若分別是邊上的中點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求的正切值．

Answer 1

【答案】；；

【解析】

（1）延長(zhǎng)BF、CD交于點(diǎn)H，根據(jù)勾股定理求出AE，證明△AFB∽△DFH，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出DH，再證明△AGB∽△EGH，最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計(jì)算即可；

（2）取AB的中點(diǎn)O，連接OG，證明△BAF≌△ADE，再確定∠AGB=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出OG，最后運(yùn)用弧長(zhǎng)公式計(jì)算即可；

（3）作FQ⊥BD于Q，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，再用a表示出BQ、FQ，最后根據(jù)正切的定義即可解答．

解：（1）如圖，延長(zhǎng)BF、CD交于點(diǎn)H

∵E為邊CD的中點(diǎn)

∴DE=DC=3

由勾股定理可得，

∵四邊形ABCD為正方形

∴AB∥CD

∴△AFB∽△DFH

∴

∵AB=6，

∴DH=3，EH=6

∵AB//CD

∴△AGB∽△EGH，

∴

∴ ；

（2）如圖：

取AB的中點(diǎn)O，連接OG，

由題意可得，AF=DE

在△BAF和△ADE中

BA=AD， ∠BAF=∠ADE，AF=DE

∴△BAF≌△ADE（SAS）

∴∠ABF= ∠DAE

∵∠BAG+ ∠DAE=90°

∴∠BAG+ ∠ABG=90°，即∠AGB=90°

∵點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，

∴OG=AB=3

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合、點(diǎn)F與得D重合時(shí)，∠AOG=90°

∴點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：；

（3）如圖，作FQ⊥BD于Q，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a

∵點(diǎn)F是邊AD上的中點(diǎn)

∴AF=DF=a，

∵四邊形ABCD為正方形

∴，∠ADB=45°

∴

∴

∴．