Question

【題目】如圖，以Rt△ABC的直角邊AB為直徑作半圓⊙O與邊BC交于點D，過D作半圓的切線與邊AC交于點E，過E作EF∥AB，與BC交于點F．若AB=20，OF=7.5，則CD的長為（　�。�

A.7
B.8
C.9
D.10

Answer 1

【答案】C
【解析】解：連結AD，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠ADE=90°，∠2+∠C=90°，
∵DE為切線，
∴ED=EA，
∴∠ADE=∠2，
∴∠1=∠C，
∴ED=EC，
∴CE=AE，
∵EF∥AB，
∴EF為△ABC的中位線，
∴BF=CF，
而BO=AO，
∴OF為△ABC的中位線，
∴OF∥AE，
∴AE=OF=7.5，
∴AC=2AE=15，
在Rt△ACD中，BC===25，
∵∠DCA=∠ACB，
∴△CDA∽△CAB，
∴= ， 即= ，
∴CD=9．
故選C．

【考點精析】利用切線的性質定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的性質：1、經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經過切點垂直于切線的直線必經過圓心3、圓的切線垂直于經過切點的半徑．