【題目】如圖,點O是等邊ABC內(nèi)一點,D是ABC外的一點,AOB=110°,BOC=α,BOC≌△ADC,OCD=60°,連接OD.

(1)求證:OCD是等邊三角形;

(2)當α=150°時,試判斷AOD的形狀,并說明理由;

(3)AOD能否為等邊三角形?為什么?

(4)探究:當α為多少度時,AOD是等腰三角形.

【答案】(1)、證明過程見解析;(2)、直角三角形、理由見解析;(3)、不能,理由見解析;(4)、α=110°或125°或140°

【解析】

試題分析:(1)、根據(jù)BOC≌△ADC得到OC=DC,結合OCD=60°,從而得出等邊三角形;(2)、根據(jù)BOC≌△ADC,∠α=150°得到ADC=BOC=150°,根據(jù)等邊三角形得到ODC=60°,從而得出ADO=90°,從而得到三角形的形狀;(3)、由BOC≌△ADC,得ADC=BOC=∠α,當AOD為等邊三角形時,則ADO=60°,結合ODC=60°得出ADC=120°,又根據(jù)AOD=DOC=60°得出AOC=120°,從而求出AOC+AOB+BOC360°,從而得到答案;(4)、根據(jù)OCD是等邊三角形得到COD=ODC=60°,根據(jù)三角形的性質(zhì)得出ADC=BOC=α,AOD=190°α,OAD=50°,然后分三種情況分別求出α的大小.

試題解析:(1)、∵△BOC≌△ADC,OC=DC.∵∠OCD=60°,∴△OCD是等邊三角形.

(2)、AOD是Rt.理由如下:

∵△OCD是等邊三角形,∴∠ODC=60°, ∵△BOC≌△ADC,∠α=150°,∴∠ADC=BOC=∠α=150°,

∴∠ADO=ADC-ODC=150°-60°=90°∴△AOD是Rt

(3)、不能.理由:由BOC≌△ADC,得ADC=BOC=∠α.

AOD為等邊三角形,則ADO=60°,又ODC=60°∴∠ADC=∠α=120°.

AOD=DOC=60°,∴∠AOC=120°,又∵∠AOB=110°,

∴∠AOC+AOB+BOC=120°+120°+110°=350°<360° 所以AOD不可能為等邊三角形.

(4)、∵△OCD是等邊三角形,∴∠COD=ODC=60° ∵∠AOB=110°,ADC=BOC=α,

∴∠AOD=360°-AOB-BOC-COD=360°-110°-α-60°=190°-α ADO=ADC-ODC=α-60°,

∴∠OAD=180°-AOD-ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°

AOD=ADO時,190°-α=α-60°,∴α=125°

AOD=OAD時,190°-α=50°,∴α=140°

ADO=OAD時,α-60°=50°,∴α=110°

綜上所述:當α=110°或125°或140°時,AOD是等腰三角形.

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