Question

【題目】定義：如圖l所示，給定線段MN及其垂直平分線上一點(diǎn)P。若以點(diǎn)P為圓心，PM為半徑的優(yōu)�。ɑ虬雸A�。㎝N上存在三個(gè)點(diǎn)可以作為一個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為線段MN的“三足點(diǎn)”，特別的，若這樣的等邊三角形只存在一個(gè)，則稱點(diǎn)P為線段MN的“強(qiáng)三足點(diǎn)”。

問(wèn)題：如圖2所示，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)B在射線y=x（x≥0）上。

（1）在點(diǎn)C（，0），D（，1），E（，-2）中，可以成為線段OA的“三足點(diǎn)”的是__________.

（2）若第一象限內(nèi)存在一點(diǎn)Q既是線段OA的“三足點(diǎn)”，又是線段OB的“強(qiáng)三足點(diǎn)”，求點(diǎn)B的坐標(biāo)。

（3）在（2）的條件下，以點(diǎn)A為圓心，AB為半徑作圓，假設(shè)該圓與x軸交點(diǎn)中右側(cè)一個(gè)為H，圓上一動(dòng)點(diǎn)K從H出發(fā)，繞A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°后停止，設(shè)點(diǎn)K出發(fā)后轉(zhuǎn)過(guò)的角度為（0°< ≤180°），若線段OB與AK不存在公共“三足點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出的取值范圍是_______________。

Answer 1

【答案】（1）D、E；

（2）B（3，3）。

（3）30°< <90°或=150°。

【解析】試題分析：(1)用排除法判斷;(2) 由題意可知Q點(diǎn)既為線段OA的“三足點(diǎn)”，又是線段OB的“強(qiáng)三足點(diǎn)”，則點(diǎn)Q須滿足在OA和OB的垂直平分線上，且∠QOB=30°．

y=x與x軸的夾角為30°．∴∠QOA=60°．設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(m,n)，Q點(diǎn)在OA的垂直平分線上，故m=， ，QB=QO= ，所以B(．

(3)這個(gè)圓正好過(guò)O、Q點(diǎn)，F點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）由于三足點(diǎn)存在要求等腰三角形頂角≤120度，通過(guò)畫圖可以算出a的范圍為：30° <a<90°，及a=150°，此時(shí)AK的中垂線與OB的中垂線平行，沒(méi)有交點(diǎn)根據(jù)線段OB的三足點(diǎn)在射線AE和射線QF上，即線段AK的三足點(diǎn)要與這兩條射線有交點(diǎn)．

試題解析：

（1）D、E；

（2）點(diǎn)Q既是線段OA的“三足點(diǎn)”，又是線段OB的“強(qiáng)三足點(diǎn)”，

依題可知，∠OQB=120°，∠QOB=30°，∠QOA=60°，

即Q（，3）.

OQ=BQ=2，BQ∥OA，

即B（3，3）.

（3）依題可知：

線段OB的三足點(diǎn)在射線AE和射線QF上，

即線段AK的三足點(diǎn)要與這兩條射線有交點(diǎn)，

當(dāng)0< ≤30°，90°≤<150°，150°< ≤180°存在交點(diǎn)。

故若不存在，則30°< <90°或=150°.

點(diǎn)睛:在這類問(wèn)題中,首要的是理解新概念,總結(jié)和發(fā)現(xiàn)新規(guī)律,然后通過(guò)模仿,類比或歸納解決問(wèn)題,關(guān)鍵是理解題中所給的新穎的解題方法,然后利用轉(zhuǎn)化思想根據(jù)背景材料將要求的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為閱讀得來(lái)的方法來(lái)解決問(wèn)題.