Question

【題目】如圖，過(guò)點(diǎn)C(1，2)分別作x軸，y軸的平行線，交直線y＝－x＋6于點(diǎn)A，B，若反比例函數(shù)y＝ (x＞0)的圖象與△ABC有公共點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】2≤k≤9

【解析】先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義可知，當(dāng)反比例函數(shù)圖象與△ABC相交于點(diǎn)C時(shí)k的取值最小，當(dāng)與線段AB相交時(shí)，k能取到最大值，根據(jù)直線y=-x+6，設(shè)交點(diǎn)為（x，-x+6）時(shí)k值最大，然后列式利用二次函數(shù)的最值問(wèn)題解答即可得解．

∵點(diǎn)C（1，2），BC∥y軸，AC∥x軸，

∴當(dāng)x=1時(shí)，y=-1+6=5，

當(dāng)y=2時(shí)，-x+6=2，解得x=4，

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（4，2），B（1，5），

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，當(dāng)反比例函數(shù)與點(diǎn)C相交時(shí)，k=1×2=2最小，

設(shè)反比例函數(shù)與線段AB相交于點(diǎn)（x，-x+6）時(shí)k值最大，

則k=x（-x+6）=-x2+6x=-（x-3）2+9，

∵1≤x≤4，

∴當(dāng)x=3時(shí)，k值最大，

此時(shí)交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3），

因此，k的取值范圍是2≤k≤9．