Question

已知拋物線 經(jīng)過(guò)A（2，0）． 設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B．

（1）求b的值和點(diǎn)P、B的坐標(biāo)；
（2）如圖，在直線上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）在軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M，使△AMP≌△AMB？如果存在,試舉例驗(yàn)證你的猜想；如果不存在，試說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-2）點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，0）. （2）存在；D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,2）（3）可通過(guò)證明AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP，證明△AMP≌△AMB.

試題分析： 解：（1）∵拋物線經(jīng)過(guò)A（2，0），
∴，         
解得，
∴拋物線的解析式為. 
將拋物線配方，得，
∴頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，-2）.          
令y=0，得，解得.
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（6，0）.      
（2）在直線 y=x上存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為平行四邊形.
理由如下：設(shè)直線PB的解析式為+b，把B（6,0）,P(4,-2)分別代入，得 
解得 
∴直線PB的解析式為.       
又∵直線OD的解析式為，∴直線PB∥OD.
解法一：設(shè)直線OP的解析式為，把P(4,-2)代入，得，解得.
如果OP∥BD，那么四邊形OPBD為平行四邊形.     
設(shè)直線BD的解析式為，將B(6,0)代入，得0=，
∴        
∴直線BD的解析式為，解方程組得
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,2）    
解法二：過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，則PC=2，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，又∵AB=4，∴△APB是等邊三角形∠PBA=∠DOB=60°,
設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（，），得=,
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（2,2）
（3）符合條件的點(diǎn)M存在.            
驗(yàn)證如下：過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)C，則PC=2，AC=2，
由勾股定理，可得AP=4，PB=4，      
又∵AB=4，∴△APB是等邊三角形，作∠PAB的平分線交拋物線于M點(diǎn)，連接PM,BM,由于AM="AM," ∠PAM=∠BAM,AB=AP，             
∴△AMP≌△AMB.
因此即存在這樣的點(diǎn)M,使△AMP≌△AMB.            

點(diǎn)評(píng)：本題難度較大，主要考查學(xué)生對(duì)一次函數(shù)和拋物線綜合運(yùn)用解決幾何問(wèn)題的能力，為中考�？碱}型，注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想分析能力，并運(yùn)用到考試中去。