Question

如圖（1），矩形ABCD的一邊BC在直角坐標(biāo)系中軸上，折疊邊AD，使點(diǎn)D落在軸上點(diǎn)F處，折痕為AE，已知AB=8，AD=10，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為，其中＞0.

（1）求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)（用含的式子表示）；
（2）連接OA，若△OAF是等腰三角形，求的值；
（3）設(shè)拋物線經(jīng)過圖（1）中的A、E兩點(diǎn)，如圖（2），其頂點(diǎn)為M，連結(jié)AM，若∠OAM=90°，求、、的值.

Answer 1

（1）E(m+10，3)，F(xiàn)（m+6，0）；（2）6或4或；（3），-1，12

試題分析：（1）∵根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°，由折疊對(duì)稱性可得AF=AD=10，F(xiàn)E=DE，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理可求得BF的長(zhǎng)，從而可得FC的長(zhǎng)，設(shè)DE=x，在Rt△ECF中，根據(jù)勾股定理即可列方程求得x的值，從而得到CE的長(zhǎng)，即得結(jié)果；
（2）分三種情形討論：若AO=AF，若OF=AF，若AO=OF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理求解；
（3）由（1）知A(m，8)，E(m+10，3)，再代入拋物線即可求得、的值，從而表示出點(diǎn)M的坐標(biāo)，設(shè)對(duì)稱軸交AD于G，即可表示出點(diǎn)G的坐標(biāo)，求得AG、GM的長(zhǎng)，再證得△AOB∽△AMG，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.
（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC=10，AB=CD=8，∠D=∠DCB=∠ABC=90°.
由折疊對(duì)稱性：AF=AD=10，F(xiàn)E=DE.
在Rt△ABF中，BF=.
∴FC="4."
設(shè)DE=x，在Rt△ECF中，，解得
∴CE= 
∵B（m，0）
∴E(m+10，3)，F(xiàn)（m+6，0）；
（2）分三種情形討論：
若AO=AF，∵AB⊥OF，∴OB=BF=6.∴m=6.
若OF=AF，則m+6=10，解得m=4.  
若AO=OF，在Rt△AOB中，AO²=OB²+AB²=m²+64，
∴，解得m=.   
綜合得m=6或4或；
（3）由（1）知A(m，8)，E(m+10，3).
由題意得， 解得  
∴M（m+6，﹣1）.
設(shè)對(duì)稱軸交AD于G.
∴G（m+6，8），
∴AG=6，GM=
∵∠OAB+∠BAM=90°，∠BAM+∠MAG=90°，
∴∠OAB=∠MAG.
又∵∠ABO=∠MGA=90°，
∴△AOB∽△AMG.  
∴，即
∴m=12.
點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)的綜合題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.