【題目】已知∠MON=60°,射線OT是∠MON的平分線,點(diǎn)P是射線OT上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),射線PB交射線ON于點(diǎn)B.
(1)如圖,若射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與射線OM交于點(diǎn)A,求證:PA=PB;
(2)在(1)的條件下,若點(diǎn)C是AB與OP的交點(diǎn),且滿足,求△POB與△PBC的面積之比;
(3)當(dāng)OB=2時(shí),射線PB繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后與直線OM交于點(diǎn)A(點(diǎn)A不與點(diǎn)O重合),直線PA交射線ON于點(diǎn)D,且滿足∠PBD=∠ABO,求OP的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見解析;(2)△POB與△PBC的面積之比為4:3;(3)OP=或.
【解析】
(1) 作PF⊥OM于F,作PG⊥ON于G,可以把求證PA=PB的問題轉(zhuǎn)化為證明△PAF≌△PBG即可;
(2)首先證明△POB∽△PBC,利用相似三角形的面積的比等于相似比的平方即可求解;
(3)分點(diǎn)A在射線OM上,點(diǎn)A在射線OM的反向延長(zhǎng)線上兩種情況進(jìn)行討論,作OT的垂線,利用三角函數(shù)即可求解.
(1)證明:作PF⊥OM于F,作PG⊥ON于G,
∵OP平分∠MON,
∴PF=PG,
∵∠MON=60°,
∴∠FPG=360°-60°-90°-90°=120°,
又∵∠APB=120°,
∴∠APF=∠BPG,
∴△PAF≌△PBG,
∴PA=PB;
(2)由(1)得:PA=PB,∠APB=120°,
∴∠PAB=∠PBA=30°,
∵∠MON=60°,OP平分∠MON,
∴∠TON=30°,
∴∠POB=∠PBC,
又∠BPO=∠OPB,
∴△POB∽△PBC,
∴
∴△POB與△PBC的面積之比為4:3;
(3)①當(dāng)點(diǎn)A在射線OM上時(shí)(如圖乙1),
∠BPD=∠BOA=60°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=75°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,∴OP=OE+PE=
②當(dāng)點(diǎn)A在射線OM的反向延長(zhǎng)線上時(shí)(如圖乙2),
此時(shí)∠AOB=∠DPB=120°,
∵∠PBD=∠ABO,而∠PBA=30°,
∴∠OBA=∠PBD=15°,
作BE⊥OT于E,
∵∠NOT=30°,OB=2,
∴BE=1,OE=,∠OBE=60°,
∴∠EBP=∠EPB=45°,
∴PE=BE=1,∴OP=
∴綜上所述,OP=或.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】一位運(yùn)動(dòng)員在距籃下4m處跳起投籃,球運(yùn)行的路線是拋物線,當(dāng)球運(yùn)行的水平距離是2.5m時(shí),達(dá)到最大高度3.5m,然后準(zhǔn)確落入籃圈.已知籃圈中心到地面的距離為3.05m.
(1)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,求拋物線的解析式.
(2)該運(yùn)動(dòng)員身高1.8m,在這次跳投中,球在頭頂上0.25m處出手,
問:球出手時(shí),他距離地面的高度是多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我們知道,同底數(shù)冪的乘法法則為am·an=am+n(其中a≠0 ,m、n為正整數(shù)),類似地我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)m、n的一種新運(yùn)算:h(m+n)=h(m)·h(n);比如h(2)=3,則h(4)=h(2+2)=3×3=9,若h(2)=k(k≠0 ),那么h(2n)·h(2020)的結(jié)果是( )
A.2k+2020B.2k+1010C.kn+1010D.1022k
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“中國(guó)夢(mèng)”是中華民族每個(gè)人的夢(mèng),也是每個(gè)中小學(xué)生的夢(mèng).各中小學(xué)開展經(jīng)典誦讀活動(dòng),無疑是“中國(guó)夢(mèng)”教育這一宏大樂章里的響亮音符.某中學(xué)在全校800名學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查,調(diào)查內(nèi)容分為四種::非常喜歡,:喜歡,:一般,:不喜歡
被調(diào)查的同學(xué)只能選取其中的一種.根據(jù)調(diào)查結(jié)果,繪制出兩個(gè)不完整的統(tǒng)計(jì)圖(圖形如下),并根據(jù)圖中信息,回答下列問題:
(1)本次調(diào)查中,一共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)條形統(tǒng)計(jì)圖中,_________,_____________;
(3)在扇形統(tǒng)計(jì)圖中,“:喜歡”所在扇形的圓心角的度數(shù)是多少?
(4)請(qǐng)估計(jì)該學(xué)校800名學(xué)生中“:非常喜歡”和“:喜歡”經(jīng)典誦讀的學(xué)生共有多少人?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E在邊AD上,點(diǎn)F在邊BC的延長(zhǎng)線上,連接EF與邊CD相交于點(diǎn)G,連接BE與對(duì)角線AC相交于點(diǎn)H, AE=CF,BE=EG。
(1)求證:EF//AC;
(2)求∠BEF大小;
(3)求證:
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知射線OB平分∠AOC,∠AOC的余角比∠BOC小42°.
(1)求∠AOB的度數(shù):
(2)過點(diǎn)O作射線OD,使得∠AOC=4∠AOD,請(qǐng)你求出∠COD的度數(shù)
(3)在(2)的條件下,畫∠AOD的角平分線OE,則∠BOE= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD是BC邊上的高,AE是BC邊上的中線,∠C=45°,sinB=, AD=4.
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)求tan∠DAE的值.
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【題目】端午節(jié)當(dāng)天,小明帶了四個(gè)粽子(除味道不同外,其它均相同),其中兩個(gè)是大棗味的,另外兩個(gè)是火腿味的,準(zhǔn)備按數(shù)量平均分給小紅和小剛兩個(gè)好朋友.
(1)請(qǐng)你用樹狀圖或列表的方法表示小紅拿到的兩個(gè)粽子的所有可能性;
(2)請(qǐng)你計(jì)算小紅拿到的兩個(gè)粽子剛好是同一味道的概率.
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