Question

【題目】如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)E在拋物線上，點(diǎn)F在x軸上，四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3.

（1）求拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式.

（2）若點(diǎn)P為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求PAC周長(zhǎng)的最小值.

（3）將AOC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，問點(diǎn)G是否在該拋物線上？請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）,（2）,（3）點(diǎn)G不在該拋物線上.

【解析】

（1）利用矩形的性質(zhì)得出E，C點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；

（2）先根據(jù)題意得出直線AE與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，再求出AC+AE的值即可；

（3）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)條件求出G點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)G的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中直接進(jìn)行判定即可．

（1）∵四邊形OCEF為矩形，且OF=2，EF=3，

∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3），E點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，3），

將C，E代入y=-x2+bx+c得：

，

解得：，

∴拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為：y=-x2+2x+3;

（2）∵y=-x2+2x+3,

∴A(-1,0),

∴AF=3,

由于點(diǎn)C、E關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，

∴取直線AE與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P時(shí)，

△PAC的周長(zhǎng)最小，

△PAC周長(zhǎng)=AC+AE=+=+=.

（3）點(diǎn)G不在該拋物線上.

根據(jù)題意，繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，落在所在的直線上，

由（2）可知，

∴點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，，

所以點(diǎn)G不在該拋物線上.