【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),且與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸DE交x軸于點(diǎn)E,連接BD.
(1)求經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
(2)點(diǎn)P是線段BD上一點(diǎn),當(dāng)PE=PC時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,過點(diǎn)P作PF⊥x軸于點(diǎn)F,G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),M為x軸上一動(dòng)點(diǎn),N為直線PF上一動(dòng)點(diǎn),當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A(﹣1,0),B(3,0)兩點(diǎn),
∴ ,
解得, ,
∴經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3
(2)
解:如圖1 ,連接PC、PE,
x=﹣ =﹣ =1,
當(dāng)x=1時(shí),y=4,
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1,4),
設(shè)直線BD的解析式為:y=mx+n,
則 ,
解得, ,
∴直線BD的解析式為y=﹣2x+6,
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,﹣2x+6),
則PC2=x2+(3+2x﹣6)2,PE2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,
∵PC=PE,
∴x2+(3+2x﹣6)2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,
解得,x=2,
則y=﹣2×2+6=2,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,2);
(3)
解:設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0),則點(diǎn)G的坐標(biāo)為(a,﹣a2+2a+3),
∵以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形,
∴FM=MG,即|2﹣a|=|﹣a2+2a+3|,
當(dāng)2﹣a=﹣a2+2a+3時(shí),
整理得,a2﹣3a﹣1=0,
解得,a= ,
當(dāng)2﹣a=﹣(﹣a2+2a+3)時(shí),
整理得,a2﹣a﹣5=0,
解得,a= ,
∴當(dāng)以F、M、G為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí),點(diǎn)M的坐標(biāo)為( ,0),( ,0),( ,0),( ,0)
【解析】(1)利用待定系數(shù)法求出過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的函數(shù)表達(dá)式;
。2)連接PC、PE,利用公式求出頂點(diǎn)D的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法求出直線BD的解析式,設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,﹣2x+6),利用勾股定理表示出PC2和PE2 , 根據(jù)題意列出方程,解方程求出x的值,計(jì)算求出點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a,0),表示出點(diǎn)G的坐標(biāo),根據(jù)正方形的性質(zhì)列出方程,解方程即可.本題考查的是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及正方形的性質(zhì),掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn);增減性:當(dāng)a>0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而減。粚(duì)稱軸右邊,y隨x增大而增大;當(dāng)a<0時(shí),對(duì)稱軸左邊,y隨x增大而增大;對(duì)稱軸右邊,y隨x增大而減。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)A從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)B也從原點(diǎn)出發(fā)沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)A的速度是1單位長度/秒,點(diǎn)B的速度是點(diǎn)A的速度的4倍(速度單位:?jiǎn)挝婚L度/秒).
(1)求請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上標(biāo)出A、B兩點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)的位置;
(2)若A、B兩點(diǎn)在(1)中的位置,數(shù)軸上是否存在一點(diǎn)P到點(diǎn)A,點(diǎn)B的距離之和為16,并求出此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù);若不存在,請(qǐng)說明理由.
(3)若A、B兩點(diǎn)從(1)中的位置開始,仍以原來的速度同時(shí)沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)時(shí),另一點(diǎn)C同時(shí)從B點(diǎn)位置出發(fā)向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),當(dāng)遇到A點(diǎn)后,立即返回向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng),遇到B點(diǎn)后又立即返回向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng),如此往返,直到B點(diǎn)追上A點(diǎn)時(shí),C點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng).若點(diǎn)C一直以10單位長度/秒的速度勻速運(yùn)動(dòng),那么點(diǎn)C從開始運(yùn)動(dòng)到停止運(yùn)動(dòng),行駛的路程是多少個(gè)單位長度?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,將△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1BO1的位置,使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A1落在直線y= x上,再將△A1BO1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1O2的位置,使點(diǎn)O1的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O2落在直線y= x上,依次進(jìn)行下去…,若點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)是( ,1),則點(diǎn)A8的橫坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠C=90 o,AC=BC=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),E.F在射線AC與射線CB上運(yùn)動(dòng),且滿足AE=CF;當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C的距離為1時(shí),則△DEF的面積為___________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,在△ABC中,已知AD⊥BC,∠B=64°,∠C=56°,
(1)求∠BAD和∠DAC的度數(shù);
(2)若DE平分∠ADB,求∠AED的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD是平行四邊形,下列結(jié)論中不正確的是( )
A. 當(dāng)AB=BC時(shí),它是菱形 B. 當(dāng)AC⊥BD時(shí),它是菱形
C. 當(dāng)∠ABC=90°時(shí),它是矩形 D. 當(dāng)AC=BD時(shí),它是正方形
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對(duì)于一個(gè)矩形ABCD及⊙M給出如下定義:在同一平面內(nèi),如果矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)到⊙M上一點(diǎn)的距離相等,那么稱這個(gè)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y= x﹣3交x軸于點(diǎn)M,⊙M的半徑為2,矩形ABCD沿直線運(yùn)動(dòng)(BD在直線l上),BD=2,AB∥y軸,當(dāng)矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時(shí),點(diǎn)C的坐標(biāo)為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,OD⊥AB于點(diǎn)O,分別交AC、CF于點(diǎn)E、D,且DE=DC.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為5,BC= ,求DE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線AB交y軸于點(diǎn)A(0,1),交x軸于點(diǎn)B(3,0).直線x=1交AB于點(diǎn)D,交x軸于點(diǎn)E,P是直線x=1上一動(dòng)點(diǎn),在點(diǎn)D的上方,設(shè)P(1,n).
(1)求直線AB的解析式;
(2)求△ABP的面積(用含n的代數(shù)式表示);
(3)當(dāng)S△ABP=2時(shí),以PB為邊在第一象限作等腰直角三角形BPC,求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
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