【題目】如圖,△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形,AB是⊙O的直徑,OD⊥AB于點O,分別交AC、CF于點E、D,且DE=DC.
(1)求證:CF是⊙O的切線;
(2)若⊙O的半徑為5,BC= ,求DE的長.

【答案】
(1)

證明:連接OC,

∵OA=OC,

∴∠A=∠OCA,

∵OD⊥AB,

∴∠A+∠AEO=90°,

∵DE=DC,

∴∠DEC=∠DCE,

∵∠AEO=∠DCE,

∴∠AEO=∠DCE,

∴∠OCE+∠DCE=90°,

∴∠OCF=90°,

∴OC⊥CF,

∴CF是⊙O切線.


(2)

解:作DH⊥AC于H,則∠EDH=∠A,

∵DE=DC,

∴EH=HC= EC,

∵⊙O的半徑為5,BC= ,

∴AB=10,AC=3 ,

∵△AEO∽△ABC,

= ,

∴AE= =

∴EC=AC﹣AE= ,

∴EH= EC=

∵∠EDH=∠A,

∴sin∠A=sin∠EDH,

= ,

∴DE= = =


【解析】(1)連接OC,欲證明CF是⊙O的切線,只要證明∠OCF=90°.
   。2)作DH⊥AC于H,由△AEO∽△ABC,得 = 求出AE,EC,再根據(jù)sin∠A=sin∠EDH,得到 = ,求出DE即可.本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)等知識,解題的關(guān)鍵是添加輔助線,構(gòu)造相似三角形,屬于中考?碱}型.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求經(jīng)過A,B,C三點的拋物線的函數(shù)表達式;
(2)點P是線段BD上一點,當(dāng)PE=PC時,求點P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,過點P作PF⊥x軸于點F,G為拋物線上一動點,M為x軸上一動點,N為直線PF上一動點,當(dāng)以F、M、G為頂點的四邊形是正方形時,請求出點M的坐標(biāo).

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