【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的對稱軸為經(jīng)過點(diǎn)(1,0)的直線,其圖象與x軸交于點(diǎn)A、B,且過點(diǎn)C(0,﹣3),其頂點(diǎn)為D.
(1)求這個二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo);
(2)在y軸上找一點(diǎn)P(點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合),使得∠APD=90°,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,將△APD沿直線AD翻折得到△AQD,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:由題意得二次函數(shù)圖象的對稱軸x=1,則﹣ =1,b=﹣2.
又二次過點(diǎn)C(0,﹣3),
∴﹣3=c,c=﹣3.
即二次函數(shù)解析式為:y=x2﹣2x﹣3
由y=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,得
頂點(diǎn)坐標(biāo)D為:(1,﹣4);
(2)
解:解法一:設(shè)P(0,m)
由題意,得PA= ,PD= ,AD=2 ,
∵∠APD=90°,∴PA2+PD2=AD2,即( )2+( )2=(2 )2
解得m1=﹣1,m2=﹣3(不合題意,舍去).
∴P(0,﹣1);
解法二:
如圖,作DE⊥y軸,垂足為點(diǎn)E,
則由題意,得 DE=1,OE=4…
由∠APD=90°,得∠APO+∠DPE=90°,
由∠AOP=90°,得∠APO+∠OAP=90°,
∴∠OAP=∠EPD
又∠AOP=∠OED=90°,
∴△OAP∽△EPD
∴ = ,
設(shè)OP=m,PE=4﹣m
則 = ,
解得m1=1,m2=3(不合題意,舍去),
∴P(0,﹣1);
(3)
解:解法一:
如圖,作QH⊥x軸,垂足為點(diǎn)H,易得PA=AQ=PD=QD= ,∠PAQ=90°,
∴四邊形APDQ為正方形.
由∠QAP=90°,得∠HAQ+∠OAP=90°,由∠AOP=90°,得∠APO+∠OAP=90°,
∴∠OPA=∠HAQ,又∠AOP=∠AHQ=90°,PA=QA
∴△AOP≌△AHQ,
∴AH=OP=1,QH=OA=3.
∴Q(4,﹣3);
解法二:
設(shè)Q(m,n),
則AQ= = ,QD= = ,
解得 , (不合題意,舍去),
∴Q(4,﹣3).
【解析】(1)根據(jù)對稱軸的定義求得b=﹣2,把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得c=﹣3;將一般式方程轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式方程即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo);(2)設(shè)P(0,m),由勾股定理分別表示PA,PD,AD的長,由于∠APD=90°,在Rt△PAD中,由勾股定理列方程求m的值即可;(3)作QH⊥x軸,垂足為點(diǎn)H,由勾股定理求出PA=PD= ,又∠PAQ=90°,可證△PAD為等腰直角三角形,由翻折的性質(zhì)可知四邊形APDQ為正方形,得出△AOP≌△AHQ,利用線段相等關(guān)系求Q點(diǎn)坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】有一數(shù)值轉(zhuǎn)換器,原理如圖所示,若開始輸入x的值是7,可發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果是12;第2次輸出的結(jié)果是6;依次繼續(xù)下去……第2018次輸出的結(jié)果是_____.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了從甲、乙兩人中選拔一人參加射擊比賽,現(xiàn)對他們的射擊成績進(jìn)行了測試,5次打靶命中的環(huán)數(shù)如下:
甲:8,7,9,8,8;乙:9,6,10,8,7;
將下表填寫完整:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
甲 | ______ | 8 | ______ |
乙 | 8 | ______ | 2 |
根據(jù)以上信息,若你是教練,你會選擇誰參加射擊比賽,理由是什么?
若乙再射擊一次,命中8環(huán),則乙這六次射擊成績的方差會______填“變大”或“變小”或“不變”
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示中的幾個圖形是五角星和它的變形.
圖甲中是一個五角星形狀,求證:;
圖甲中的點(diǎn)A向下移到BE上時如圖乙五個角的和即有無變化?試說明理由
把圖乙中的點(diǎn)C向上移動到BD上時如圖丙所示,五個角的和即有無變化?試說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=4,BC=6,∠B=60°,將△ABC沿射線BC的方向平移2個單位后,得到△A′B′C′,連接A′C,則△A′B′C的周長為 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,邊AB的長為3,點(diǎn)E,F(xiàn)分別在AD,BC上,連接BE,DF,EF,BD.若四邊形BEDF是菱形,且EF=AE+FC,則邊BC的長為 ( )
A. B. 2 C. 3 D. 6
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,P點(diǎn)從點(diǎn)A開始以2厘米/秒的速度沿A→B→C的方向移動,點(diǎn)Q從點(diǎn)C開始以1厘米/秒的速度沿C→A→B的方向移動,在直角三角形ABC中,∠A=90°,若AB=16厘米,AC=12厘米,BC=20厘米,如果P、Q同時出發(fā),用t(秒)表示移動時間,那么:
(1)如圖1,若P在線段AB上運(yùn)動,Q在線段CA上運(yùn)動,試求出t為何值時,QA=AP
(2)如圖2,點(diǎn)Q在CA上運(yùn)動,試求出t為何值時,三角形QAB的面積等于三角形ABC面積的;
(3)如圖3,當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)C點(diǎn)時,P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動,試求當(dāng)t為何值時,線段AQ的長度等于線段BP的長的
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在邊長為1的菱形ABCD中,∠DAB=60°,連接對角線AC,以AC為邊作第二個菱形,使,連接,再以為邊作第三個菱形,使;…,按此規(guī)律所作的第六個菱形的邊長為( )
A. 9 B. C. 27 D.
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